Иррациональные уравнения: различия между версиями

НАСТЯ ГРИБ, Я ЛЮБЛЮ ТЕБЯ <33
 
НАША ПЕСЕНКА:
==Уравнения вида <math> \sqrt {ax + b} = cx + d. </math>==
 
КАК УСЛЫШИШЬ ГРОХОТ ШКОЛЫ
ГЛАВНОЕ НЕ СПИ
Рассмотрим подробнее самое простое из уравнений вида
ОБНИМИ ПОКРЕПЧЕ БРАТА
<math>\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) </math>
И ВСЛУХ ПРОИЗНЕСИ:
&mdash; уравнение
"НАХУЙ ШКОЛУ БЛЯТЬ
<math> \sqrt {ax + b} = cx + d \quad (1). </math>
ФИЗРУК СОСНИ ХУЙЦА"
ВЕДЬ ЭТО ВСЕГО НАВСЕГО
Мы предполагаем, что <math>a \ne 0 .</math>
РУШИТСЯ ОНА.
 
Его можно решать различными способами.
 
Приведем три из них.
 
1. Можно воспользоваться приведенным выше условием равносильности:
 
<math> \sqrt {ax + b} = cx + d \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} cx + d \ge 0 \\ ax + b = \left( {cx + d} \right)^2. \\ \end{matrix} \right. </math>
 
2. Можно сразу решить уравнение
<math> ax + b = \left( {cx + d} \right)^2 </math>
(ОДЗ уравнения выполняется автоматически), а затем сделать проверку: подставить найденные решения в заданное уравнение
<math> \sqrt {ax + b} = cx + d. </math>
 
Обязательна ли проверка? Да, надо отсечь решения уравнения
<math> - \sqrt {ax + b} = cx + d. </math>
 
Рассмотрим решения уравнения на графике.
Начертим эскизы левой и правой частей - например, рис.1.
 
[[Изображение:irrat1.jpg]]
 
'''Рис.1'''
 
В данном случае хорошо видно (Рис.1), что полупарабола
<math>y = \sqrt {ax + b} </math>
пересекается лишь с той частью прямой
<math>y = cx + d, </math>
где
y
принимает неотрицательные значения, а та часть прямой
<math>y = cx + d, </math>
где
y
принимает отрицательные значения, пересекается с полупараболой
<math>y = - \sqrt {ax + b} ,a > 0,b > 0. </math>
 
[[Изображение:irrat2.jpg]]
 
'''Рис.2'''
 
Но "лишние" корни могут и не появиться (рис.2.) - все зависит от коэффициентов в уравнении, а, значит, от взаимного расположения прямой и полупараболы.
 
3. Уравнение вида
<math> \sqrt {ax + b} = cx + d </math>
можно также решать с помощью замены переменных, положив
<math>t = \sqrt {ax + b}, t \ge 0. </math>
Тогда
<math>ax + b = t^2, </math> откуда
<math> x = \frac{{t^2 - b}}{a} </math>
и уравнение (1) в новых переменных примет вид
<math> t = \frac{{c\left( {t^2 - b} \right)}}{a} + d </math>, что равносильно уравнению <math> ct^2 - at - bc + ad = 0. </math>
 
Задача свелась к нахождению неотрицательных решений квадратного уравнения
<math> ct^2 - at - bc + ad = 0, </math> что под силу любому школьнику.
 
===Пример 7. (МФТИ, 2000)===
Найти все значения параметра
a,
при каждом из которых уравнение
<math> \sqrt {x - 8} = - ax + 3a + 2 </math>
имеет единственное решение.
 
Решим задачу третьим способом. Пусть
<math> \sqrt {x - 8} = t,\; t \ge 0, </math>
тогда
<math> x = t^2 + 8</math>
и исходное уравнение примет вид
<math> at^2 + t + 5a - 2 = 0. </math>
Теперь задача состоит в том, чтобы найти все
<math>a</math>, при которых уравнение
<math>at^2 + t + 5a - 2 = 0 </math>
имеет единственное неотрицательное решение. Это имеет место в следующих случаях:
 
# <math>a = 0,</math> и тогда <math>t = 2.3.</math>
# <math>a \ne 0, D \equiv 1 - 20a^2 + 8 = 0 \Leftrightarrow </math>
<math> \left[ \begin{matrix} a = - \frac{1}{{10}} \Rightarrow t = 5 \\ a = \frac{1}{2} \Rightarrow t = - 1 \\ \end{matrix} \right. \Rightarrow</math>
одно неотрицательное решение при
<math> a = - \frac{1}{{10}}. </math>
 
3. <math> a\ne 0, D>0 \Leftrightarrow a\in \left( {-\frac{1}{10}}; \frac{1}{2} \right) \Leftrightarrow </math>
<math> t_1 t_2 = \frac{{5a - 2}}{a} \le 0 \Leftrightarrow a \in \left( {0;\frac{2}{5}} \right] \Rightarrow </math>
имеем единственное неотрицательное решение при
<math> a \in \left( {0;\frac{2}{5}} \right].</math>
 
Итак, получаем
 
'''Ответ:'''
<math> \left\{ { - \frac{1}{{10}}} \right\} \cup \left[ {0;\frac{2}{5}} \right].</math>
 
==Уравнения вида <math> \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {g\left( x \right)}. </math>==
9

правок