Иррациональные уравнения: различия между версиями

ВСЕМ НАСРАТЬ!!!
 
НЕНАВИЖУ АЛГЕБРУ!!!!!!!!!
==Уравнения вида <math> \sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right). </math>==
 
При решении уравнения этого вида очень многие школьники прежде всего находят ОДЗ:
<math> f\left( x \right) \ge 0, </math>
затем решают получившееся квадратное уравнение, проверяют, после нахождения решений, условие
<math> f\left( x \right) \ge 0 </math>
и успокаиваются. Ответ может оказаться неверным. Почему? Потому что могут появиться "лишние" корни. Почему? Потому что после возведения в квадрат решаются сразу два уравнения:
<math> \sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) </math>
и
<math> \sqrt {f\left( x \right)} = - g\left( x \right), </math>
но на разных промежутках числовой оси:
<math> \sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) </math> &mdash; там, где
<math> g\left( x \right) \ge 0, </math>
и
<math> \sqrt {f\left( x \right)} = - g\left( x \right) </math> &mdash; там, где
<math> g\left( x \right) \le 0. </math>
"Лишние" корни &mdash; это корни второго уравнения, геометрически это &mdash; пересечение графика функции
<math> y = g\left( x \right) </math>
с графиком функции
<math> y = - \sqrt {f\left( x \right)} . </math>
 
Как быть?
 
Дело в том, что обе части '''любого''' уравнения всегда можно возвести в квадрат, но при этом может получиться неравносильное уравнение, а, значит, могут появиться посторонние корни. В нашем случае получится уравнение
<math> f\left( x \right) = g^2 \left( x \right), </math>
при этом очень важно, что ОДЗ уравнения выполняется '''автоматически,''' поэтому при таком способе решения не надо тратить энергию на решение неравенства
<math> f\left( x \right) \ge 0.</math>
 
Заметим, что уравнение
<math>\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) </math>
может иметь решение для
<math> g\left( x \right) \ge 0, </math>
но не имеет решений, если
<math> g\left( x \right) < 0. </math>
 
Вспомним, что, если <math>f(x) \ge 0, g(x)\ge 0</math>, то <math>f(x)=g(x)\Leftrightarrow f^2(x)=g^2(x).</math>
 
Так как уравнение
<math> \sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) </math>
может иметь решение лишь при условии
<math> g\left( x \right) \ge 0 </math>
(т. е. обе части в ОДЗ уравнения неотрицательны), то
{{Рамка}}
<math> \sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} f\left( x \right) = g^2 \left( x \right), \\ g\left( x \right) \ge 0. \\ \end{matrix} \right. (1) </math>
{{Акмар}}
 
'''Это очень важное условие равносильности.'''
Во-первых, оно освобождает учащегося от необходимости исследовать, а после нахождения решений и проверять условие
<math> f\left( x \right) \ge 0 </math>
неотрицательности подкоренного выражения, т. к. это условие выполняется автоматически.
 
Во-вторых, акцентирует внимание на проверке условия
<math> g\left( x \right) \ge 0 </math> неотрицательности правой части &mdash; это условие "отсекает" посторонние корни -- корни уравнения
<math>\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right). </math>
 
При этом сначала решается уравнение, а затем найденные корни подставляются в неравенство. Неравенство (за редким исключением, когда корни "плохие") заранее решать не надо.
 
Наше условие равносильности особенно полезно при решении тригонометрических уравнений, в которых нахождение ОДЗ связано с решением '''тригонометрических''' неравенств, что гораздо сложнее, чем решение тригонометрических уравнений. В тригонометрических уравнениях даже проверку условия
<math>g\left( x \right) \ge 0 </math>
не всегда просто сделать.
 
'''Замечание.''' При решении любых уравнений, где есть хотя бы один неравносильный переход, надо делать проверку, подставляя найденные корни в исходное уравнение!
 
===Пример 1.===
<math> \sqrt {2x^3 + 2x^2 - 3x + 3} = x + 1. </math>
 
В этом примере особенно хорошо видно, что при решении важным является условие
<math>x + 1 \ge 0, </math>
а ОДЗ корня искать не надо, да и найти трудно.
 
<math>\sqrt {2x^3 + 2x^2 - 3x + 3} = x + 1 \Leftrightarrow</math>
 
<math>\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x + 1\ge{0} & \\ 2x^3 + 2x^2 - 3x + 3 = x^2 + 2x + 1 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow</math>
 
<math>\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x + 1\ge{0} & \\ 2x^3 + x^2 - 5x + 2 = 0 & \end{matrix}\right.</math>
 
Посмотрим внимательно на уравнение
<math>2x^3 + x^2 - 5x + 2 = 0 </math>
 
Сумма коэффициентов этого уравнения равна 0, значит, х=1 является корнем. Теперь можно выделить множитель (х-1) делением столбиком, при помощи схемы Горнера или группировкой, выделяя последовательно слагаемые, которые делятся на (х-1):
 
<math>2x^3 + x^2 - 5x + 2 = 2(x^3 - 1) + (x^2 - 1) - 5(x - 1) = (x - 1)(2(x^2 + x + 1) + x + 1 - 5) = (x - 1)(2x^2 + 3x - 2) =</math>
 
<math>= (x - 1)(x + 2)( x - \frac{1}{2}). </math>
 
Значит, исходное уравнение эквивалентно системе
 
<math> \left\{ \begin{matrix} x + 1 \ge 0 & \\ \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x - \frac{1}{2}} \right) = 0 & \end{matrix} \right. </math>
 
откуда <math>x=1</math> или <math>x=1/2</math>.
 
Любопытно, что
<math> x = - 2 </math>
принадлежит ОДЗ, но не является решением, т. к. для него не выполнено условие
<math> x + 1 \ge 0. </math>
 
'''Ответ:''' 0,5; 1.
 
===Пример 2.===
<math> 4\sqrt {5x - x^2 - 6} = x - 1. </math>
 
<math> 4\sqrt {5x - x^2 - 6} = x - 1 \Leftrightarrow </math>
 
<math> \left\{ \begin{matrix} 16\left( {5x - x^2 - 6} \right) = \left( {x - 1} \right)^2 \\ x - 1 \ge 0 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>
 
<math> \left\{ \begin{matrix} 17x^2 - 82x + 97 = 0 \\ x \ge 1 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>
 
<math> x = \frac{{41 \pm \sqrt {32} }}{{17}}. </math>
 
'''Ответ:''' <math> \frac{{41 \pm \sqrt {32} }}{{17}}. </math>
 
В этом примере не оказалось лишних корней.
 
===Пример 3.===
<math> \sqrt {x^3 - 5x + 13} = x + 2.</math>
 
<math>\sqrt {x^3 - 5x + 13} = x + 2 \Leftrightarrow </math>
 
<math> \left\{ \begin{matrix} x + 2 \ge 0 \\ x^3 - 5x + 13 = \left( {x + 2} \right)^2 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>
<math> x^3 - x^2 - 9x + 9 = 0 \Leftrightarrow </math>
 
<math> \left\{ \begin{matrix} x \ge - 2 \\ \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) = 0 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>
 
<math>\left[ \begin{matrix} x = 1 \\ x = 3. \\ \end{matrix} \right. </math>
 
'''Ответ:''' 1,3.
 
===Пример 4.(МГУ, 1974, экон. ф-т)===
Найти все действительные решения уравнения
<math> \sqrt {2x^2 - 4x} = \sqrt {x^2 + 1} + \sqrt {x^2 - 1}. </math>
 
В ОДЗ обе части уравнения неотрицательны, поэтому возведение в квадрат обеих частей приводит к равносильному уравнению:
 
<math> \sqrt {2x^2 - 4x} = \sqrt {x^2 + 1} + \sqrt {x^2 - 1} \Leftrightarrow </math>
 
<math> 2x^2 - 4x = 2x^2 + 2\sqrt {x^4 - 1} \Leftrightarrow </math>
 
<math> \sqrt {x^4 - 1} = - 2x \Leftrightarrow </math>
 
(Здесь мы воспользовались условием равносильности)
 
<math>\left\{ \begin{matrix} x \le 0, \\ x^4 - 1 = 4x^2 \Leftrightarrow x^2 = 2 + \sqrt 5 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>
 
<math> x = - \sqrt {2 + \sqrt 5 }. </math>
 
'''Ответ:''' <math> - \sqrt {2 + \sqrt 5 } .</math>
 
===Пример 5.(МГУ, 1999)===
Решите уравнение
<math>\sqrt {\left| {x^2 + 14x + 47} \right| - 1} = \left| {x + 7} \right| - 1. </math>
 
Здесь удобно сначала сделать замену переменных. Пусть
<math>t = \left| {x + 7} \right|, </math>
тогда уравнение
<math> \left| {x + 7} \right| - 1 = \sqrt {\left| {\left( {x + 7} \right)^2 - 2} \right| - 1} </math>
примет вид
<math> \sqrt {\left| {t^2 - 2} \right| - 1} = t - 1. </math>
 
Решим его.
<math>\sqrt {\left| {t^2 - 2} \right| - 1} = t - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t \ge 1 \\ \left| {t^2 - 2} \right| - 1 = t^2 - 2t + 1 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>
 
<math> \left\{ \begin{matrix} t \ge 1 \\ \left| {t^2 - 2} \right| = t^2 - 2t + 2 \equiv \left( {t - 1} \right)^2 + 1 > 0 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>
 
<math> \left\{ \begin{matrix} t \ge 1 \\ \left[ \begin{matrix} t^2 - 2 = t^2 - 2t + 2 \\ t^2 - 2 = - t^2 + 2t - 2 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t \ge 1 \\ \left[ \begin{matrix} t = 2 \\ \left[ \begin{matrix} t = 0 \\ t = 1 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>
 
<math> \left[ \begin{matrix} t = 2 \\ t = 1 \\ \end{matrix} \right. \Rightarrow \left[ \begin{matrix} \left| {x + 7} \right.| = 2 \\ \left| {x + 7} \right.| = 1 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \left[ \begin{matrix} x = - 5 \\ x = - 9 \\ \end{matrix} \right. \\ \left[ \begin{matrix} x = - 6 \\ x = - 8 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right. </math>
 
'''Ответ:''' -5, -6, -8, -9.
 
===Пример 6.===
Решите уравнение
<math> \sqrt {7 - cos x - 6\cos 2x} = 4 \sin x. </math>
 
<math> \sqrt {7 - cos x - 6\cos 2x} = 4 \sin x \Leftrightarrow </math>
 
<math> \left\{\begin{matrix} \sin x \ge 0 \\ 7 - \cos x - 6\cos 2x = 16 {\sin}^2 x \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>
 
<math>\left[ \begin{matrix}\sin x \ge 0 \\ \cos x = \left[ \begin{matrix} 1 \\ - \frac{3}{4}\end{matrix}\right. \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>
 
<math> \left[ \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix}\sin x \ge 0 \\ \cos x = 1 \end{matrix} \right. \\ \left\{ \begin{matrix} \sin x \ge 0 \\ \cos x = - \frac{3}{4} \end{matrix} \right. \end{matrix} \right. \Leftrightarrow </math>
 
<math>x = \left[ \begin{matrix} 2\pi k \\ \arccos \left( { - \frac{3}{4}} \right.) + 2\pi k \end{matrix} \right. </math>
 
'''Ответ:'''
<math> 2\pi k, </math>
<math> \arccos \left( { - \frac{3}{4}} \right) + 2\pi k,k \in {\rm Z}. </math>
 
==Уравнения вида <math> \sqrt {ax + b} = cx + d. </math>==
9

правок