Теория функций действительного переменного/Сопряжённое пространство

Пусть $f_{1}$ и $f_{2}$ — линейные функционалы на некотором линейном пространстве $E$. Суммой $f_{1}+f_{2}$ будем называть функционал $f$, определённый следующим образом:

$f(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x),\forall x\in E.$

Произведение функционала $f_{1}$ на число $\alpha$ обозначается $\alpha f_{1}$ и определяется как

$f(x)=\alpha f_{1}(x),\forall x\in E.$

Пространство всех линейных функционалов, определённых на некотором топологическом линейном пространстве $E$, называется сопряжённым с пространством $E$ и обозначается $E^{*}$.

Для линейных непрерывных функционалов может быть введена норма:

$\left\|f\right\|=\sup _{\left\|x\right\|\neq 0}{\frac {\left|f(x)\right|}{\left\|x\right\|}}=\sup _{\left\|x\right\|=1}\left|f(x)\right|$.

Проверим выполнение аксиом нормы:

1. Неотрицательность следует непосредственно из определения.
3. Абсолютная однородность. $\left\|\alpha f\right\|=\sup _{\left\|x\right\|=1}\left|\alpha f(x)\right|=\alpha \cdot \sup _{\left\|x\right\|=1}\left|f(x)\right|=\alpha \left\|f\right\|$.
4. Аксиома треугольника.

Таким образом, в пространстве $E^{*}$, сопряженное нормированному пространству, можно ввести естественную нормой.

Топология $E^{*}$, соответствующая данной норме называется Сильной топологией.

Теорема 1. Сопряжённое пространство является полным.