Теория функций действительного переменного/Мера множеств, измеримые функции: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Galushin (обсуждение | вклад) →Теорема Лузина: оформление |
Galushin (обсуждение | вклад) →Продолжение меры с полукольца на кольцо: более подробное доказательство теоремы 1 |
||
Строка 59:
Рассмотрим некоторое другое конечное разложение.
: <math>A = \bigcup_{j=1}^{r} B_j,~B_j \in \mathfrak{S}_m, j \neq k \Rightarrow B_j \cap B_k = \varnothing</math>.
Поскольку <math>A_k \subset A</math>, то
: <math>A_k = A_k \cap A = A_k \cap \bigcup_{j=1}^{r} B_j = \bigcup_{j=1}^{r} \left(A_k \cap B_j\right) </math>.
Возьмём объединение всех <math>A_k</math>:
: <math> A = \bigcup_{k=1}^{n} A_k = \bigcup_{k=1}^{n} \bigcup_{j=1}^{r} \left(A_k \cap B_j\right) </math>.
Аналогичные рассуждения можно провести и для <math>B_j</math>:
: <math> B_j = \bigcup_{k=1}^{n} \left(A_k \cap B_j\right) </math>.
: <math> A = \bigcup_{j=1}^{r} B_j = \bigcup_{j=1}^{r} \bigcup_{k=1}^{n} \left(A_k \cap B_j\right) </math>.
Таким образом
: <math> \bigcup_{k=1}^{n} A_k = \bigcup_{k=1}^{n} \bigcup_{j=1}^{r} \left(A_k \cap B_j\right) = \bigcup_{j=1}^{r} B_j </math>
Множества <math>A_k</math> являются попарно непересекающимися, а <math>A_k \cap B_j \subset A_k</math>, поэтому множества <math>A_k \cap B_j</math> также являются попарно непересекающимися.
Так как, по определению полукольца, множества вида <math>A_k \cap B_j</math> принадлежат <math>\mathfrak{S}_m</math>, то в силу аддитивности меры
: <math>\sum_{k=1}^{n} \mu(A_k) = \sum_{k=1}^{n} \sum_{j=1}^{r} \mu(A_k \cap B_j) = \sum_{
Неотрицательность и аддитивность функции <math>\mu</math> следует из неотрицательности и аддитивности меры <math>m</math>.
|