Теория функций действительного переменного/Мера множеств, измеримые функции: различия между версиями

Содержимое удалено Содержимое добавлено
→‎Теорема Лузина: оформление
→‎Продолжение меры с полукольца на кольцо: более подробное доказательство теоремы 1
Строка 59:
Рассмотрим некоторое другое конечное разложение.
: <math>A = \bigcup_{j=1}^{r} B_j,~B_j \in \mathfrak{S}_m, j \neq k \Rightarrow B_j \cap B_k = \varnothing</math>.
 
Поскольку <math>A_k \subset A</math>, то
: <math>A_k = A_k \cap A = A_k \cap \bigcup_{j=1}^{r} B_j = \bigcup_{j=1}^{r} \left(A_k \cap B_j\right) </math>.
 
Возьмём объединение всех <math>A_k</math>:
: <math> A = \bigcup_{k=1}^{n} A_k = \bigcup_{k=1}^{n} \bigcup_{j=1}^{r} \left(A_k \cap B_j\right) </math>.
 
Аналогичные рассуждения можно провести и для <math>B_j</math>:
: <math> B_j = \bigcup_{k=1}^{n} \left(A_k \cap B_j\right) </math>.
: <math> A = \bigcup_{j=1}^{r} B_j = \bigcup_{j=1}^{r} \bigcup_{k=1}^{n} \left(A_k \cap B_j\right) </math>.
 
Таким образом
: <math> \bigcup_{k=1}^{n} A_k = \bigcup_{k=1}^{n} \bigcup_{j=1}^{r} \left(A_k \cap B_j\right) = \bigcup_{j=1}^{r} B_j </math>
 
Множества <math>A_k</math> являются попарно непересекающимися, а <math>A_k \cap B_j \subset A_k</math>, поэтому множества <math>A_k \cap B_j</math> также являются попарно непересекающимися.
 
Так как, по определению полукольца, множества вида <math>A_k \cap B_j</math> принадлежат <math>\mathfrak{S}_m</math>, то в силу аддитивности меры
: <math>\sum_{k=1}^{n} \mu(A_k) = \sum_{k=1}^{n} \sum_{j=1}^{r} \mu(A_k \cap B_j) = \sum_{kj=1}^{nr} \mu(B_j)</math>.
 
Неотрицательность и аддитивность функции <math>\mu</math> следует из неотрицательности и аддитивности меры <math>m</math>.