Знакомство с методом математической индукции: различия между версиями

== Задачи ==
 
# На доске записано рациональное число <math>q = \frac{m}{n}</math>. Его можно стереть и записать вместо него либо <math>q + 1 = \frac{m + n}{n}</math>, либо <math>\frac{1}{q} = \frac{n}{m}</math>. Докажите, что с помощью указанных двух операций можно из единицы получить любое положительное рациональное число. Например, число <math>\frac{2}{5}</math> можно получить так: <math>1 \to 2 \to \frac12 \to \frac32 \to \frac52 \to \frac25.</math>
# В прямоугольнике <math>3 \times n</math> (<math>3</math> строки, <math>n</math> столбцов) расставлены фишки трёх цветов по <math>n</math> штук каждого цвета. Докажите, что, переставляя фишки в строчках, можно сделать так, чтобы в каждом столбце были фишки всех трёх цветов.
# Плоскость поделена на области несколькими прямыми и окружностями. Докажите, что эти области можно раскрасить в два цвета так, чтобы любые две соседние области были раскрашены в различные цвета. Соседними считаются области, границы которых имеют общий отрезок.
Анонимный участник