Викиучебник

Комплексные числа: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
м →‎Задача 83[10]: оформление
оформление
Строка 4:
Прежде, чем изучать новые, комплексные числа, давайте вспомним числа,
которые мы знаем.
Самые простые числа  — это натуральные, они обозначаются буквой <math>\,\! \mathbb{N} </math>:
<center>
1, 2, 3, 4, 5, 6, …
Строка 11:
Натуральные числа мы можем '''''складывать''''' и '''''умножать'''''.
Целые числа, обозначаемые <math>\,\! \mathbb{Z} </math>, расширяют множество натуральных
чисел  — добавляют нуль и отрицательные числа. Наличие
отрицательных чисел позволяет нам ''''' вычитать''''' любое число из
любого, тогда как «живя» в натуральных числах, при вычитании мы
Строка 27:
Кроме сложения, вычитания, умножения рациональные числа можно ''''' делить''''' друг на друга
и снова получать рациональное число (конечно, на ноль делить при этом нельзя).
Следующее множество чисел, расширяющее множество рациональных чисел  — это
действительные (вещественные) числа <math>\,\!\mathbb{R}</math>.
 
Строка 76:
из неотрицательных чисел и вычислять самые разные функции, например, синус, косинус, экспоненту и др.
Действительные числа можно представлять в виде направленной прямой с выделенной точкой <math>\,\! O </math>.
Точке <math>\,\! O </math> соответствует число <math>\,\! 0 </math>. Справа находятся положительные числа, а слева  — отрицательные.
Такое представление называется «числовой осью»:
[[Файл:complex3.jpg]]
Строка 116:
Например, число <math>\,\! \pi </math>, равное половине длины единичной окружности, является трансцендентным числом.
Число <math>\,\! \sqrt{2}^{\sqrt{2}} </math> также является трансцендентным.
Трансцендентные числа  — это числа, которые
не являются корнями никакого многочлена с целыми коэффициентами.
Доказательство того, что есть трансцендентные числа, довольно сложное
Строка 125:
Действительные числа представляют собой полноценный набор чисел,
которого, кажется, должно хватить для любых нужд. Но это не так.
Существует ещё одно расширение чисел  — ''комплексные числа''.
В комплексных числах можно брать корни из отрицательных чисел.
Комплексные числа хороши ещё тем,
Строка 182:
'''Определение 1'''
{{Рамка}}
''''' Комплексные числа''''' <math>\,\! \mathbb{C} </math>  — это пара <math>\,\! (a,b)</math> действительных чисел
с заданными определенным образом операциями умножения и сложения. Комплексное число <math>\,\!z =(a,b)</math> записывают как
<center> <math>\,\! z=a+b\cdot i, </math></center>
Число <math>\,\! a </math> называется '''''действительной частью''''' числа <math>\,\! z </math>,
а число <math>\,\! b </math>  — '''''мнимой частью''''' числа <math>\,\! z </math>.
Их обозначают <math>\,\! Re\ z </math> и <math>\,\! Im\ z </math> соответственно:
<center> <math>\,\! a = Re\ z, \quad b= Im\ z. </math></center>
Строка 258:
{{Рамка}}
Операции сложения и умножения комплексных чисел осуществляются так,
как если бы мнимая единица <math>\,\! i </math> была переменной (а комплексные числа  — многочленами от этой переменной),
при этом <math>\,\! i^2=-1 </math>.
{{Акмар}}
Строка 326:
<math>\,\! -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i </math>.
 
'''Подсказка''':
 
<math>\,\! (-1+\sqrt{3}i)^3=8 </math>.
Строка 360:
 
==== Задача 16[8] ====
Найдите число <math>\,\! z </math>, отличное от <math>\,\! 2 </math> и <math>\,\! -2 </math>, такое, что <math>\,\! z^4=16 </math>.
 
Решение
Строка 385:
Решение:
 
а) <math>\,\! | Re\ z|=| Im\ z| </math>  — две пересекающиеся прямые <math>\,\! a=b </math>, <math>\,\! a=-b </math>;
 
б) <math>\,\! Im\ z=0 </math> или <math>\,\! Re\ z =0 </math>  — две пересекающиеся прямые <math>\,\! a=0 </math>,
<math>\,\! b=0 </math>; в) <math>\,\! Im\ z=0 </math>  — одна прямая <math>\,\! b=0 </math>.
 
== Cопряженные числа. Модуль. Деление ==
Строка 432:
 
==== Задача 23[9] ====
Пусть <math>\,\! P(z) </math>  — многочлен от <math>\,\! z </math>. Докажите, что
<center> <math>\,\! P(\overline{z}) = \overline{P(z)}. </math></center>
 
Строка 441:
Докажите, что многочлен от <math>\,\! z </math> равный
<math>\,\! (z-z_0)(z-\overline{z_0}), </math></center>
где <math>\,\! z_0 </math>  — произвольное комплексное число, имеет действительные коэффициенты
(если раскрыть скобки и привести подобные).
 
Строка 498:
 
==== Задача 33[9] ====
Даны два действительных числа <math>\,\! \alpha </math> и <math>\,\! \beta </math> такие, что <math>\,\! \alpha\beta </math> и <math>\,\! (\alpha + \beta) </math>  — целые числа.
Докажите, что <math>\,\! \alpha^n+\beta^n </math> будет целым числом при любом натуральном <math>\,\! n </math>.
 
Строка 517:
— длина отрезка <math>\,\! Oz </math> на комплексной плоскости.
{{Акмар}}
Посмотрите на рисунок 2. Модуль числа <math>\,\! |z| </math>  — это длина
отрезка <math>\,\! Oz </math>.
{{Рамка}}
Строка 559:
\frac{-1-5i}{13}
. </math></center>
В знаменателе стоит <math>\,\! (2+3i)(2-3i)=2^2-(3i)^2=2^2+3^2=4+9=13 </math>  — действительное число.
Разделить комплексное число на действительное не сложно: нужно просто действительную и комплексную
часть разделить на это число. Получаем:
Строка 580:
на котором специальным образом определены операция сложения, умножения и деления.
Паре <math>\,\! (a,b) </math> соответствует число <math>\,\! a+b\cdot i </math>.
Операция сложения на этих парах определяется очевидным образом  — надо просто
сложить соответствующие элементы пар:
<center> <math>\,\! (a_1,\; b_1)+(a_2,\; b_2) =(a_1 + b_1 \cdot i)+(a_2 + b_2\cdot i) = (a_1+ a_2) + (b_1 + b_2)\cdot i = ( a_1+ a_2,\;\; b_1 + b_2 ). </math></center>
Строка 591:
'''Определение 5'''
{{Рамка}}
''''' Комплексные числа'''''  — это множество пар действительных чисел, на которых определены
операции сложения « <math>\,\! + </math>» и умножения « <math>\,\! \times </math>» по следующим правилам:
<center> <math>\,\! (a_1,\; b_1)+(a_2,\; b_2) = (a_1+a_2,\;\; b_1+b_2) </math></center>
Строка 619:
<center> <math>\,\! (a_1,\; b_1)-(a_2,\; b_2) = (a_1-a_2,\;\; b_1-b_2). </math></center>
Определить операцию деления несколько сложнее.
Деление  — это операция обратная к умножению. Следующая теорема
утверждает корректность операции деления.
 
Строка 632:
Это решение обозначим как частное: <center> <math>\,\! \frac{w}{v}. </math></center>
 
В принципе, мы уже научились делить в предыдущей части  — нужно
просто числитель и знаменатель умножить на сопряженное, после
чего в знаменателе будет действительное положительное число, равное квадрату модуля знаменателя.
Строка 658:
Последняя строчка соответствует системе из двух уравнений:
<center> <math>\,\! \left\{\begin{matrix}x a - y b = c,\\ x b + y a = d.\end{matrix}\right. </math></center>
Когда эта система имеет решение? Умножим первое уравнение на <math>\,\! a </math>, а второе  — на <math>\,\! b </math>:
<center> <math>\,\! x a^2 - y ab = ca, </math></center>
<center> <math>\,\! x b^2 + y ab = db. </math></center>
Строка 679:
Итак, комплексные числа образуют плоскость. Координатные оси на
этой плоскости соответствуют действительной и мнимой части
комплексного числа. Два числа  — действительная часть <math>a</math> (<math>Re\
z</math>) и мнимая часть <math>b</math> (<math>Im\ z</math>)  — определяют комплексное число
на комплексной плоскости.
 
Строка 696:
При этом преобразовании и действительная, и мнимая части увеличиваются в два раза.
Число <math>(1+i)</math> переходит в <math>(2+2i)</math>, число <math>(-i)</math> переходит в <math>(-2i)</math>.
Все числа удаляются от точки <math>O</math>  — они становятся в два раза дальше от неё,
но при этом остаются в том же направлении, что и до преобразования.
Комплексная плоскость как бы растягивается в два раза относительно точки <math>O</math>.
Строка 744:
<center><math>y'= cx+dy,</math></center>
 
где <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> и <math>d</math>  — некоторые вещественные числа.
Осталось подобрать их. Рассмотрим точки с координатами <math>(x,y)</math>
равными <math>(1,0)</math>, <math>(0,1)</math>, <math>(-1,0)</math>, <math>(0,1)</math>. Какие координаты <math>(x',y')</math>
Строка 775:
'''Подсказка'''
Докажите, что модуль <math>z</math> (расстояние от <math>z</math> до центра <math>O</math>) при преобразованиях
не меняется. Эти преобразования  — повороты. Какие именно?
 
==== Задача 45[9] ====
Строка 876:
б) парабола;
 
в) парабола  — то же самое что и в предыдущем пункте, только нужно домножить
на <math>(-i)^2</math> (повернуть на 90° и сделать сопряжение (симметрия относительно <math>Ox</math>);
 
Строка 922:
 
а) ''Алгебраический подход'': положите <math>
\frac{z}{z-1}=i\cdot t </math>, где <math>t</math>  — любое действительное число
выразите <math>z</math> через <math>t</math>; попробуйте подставить <math>t=0</math>, <math>1</math>, <math>-1</math>,
<math>2</math>, <math>10000</math> и поставить соответствующие <math>z</math> на плоскости.
Строка 931:
 
б) ''Алгебраический подход'': положите <math> \frac{z}{z-1}= t </math>,
где <math>t</math>  — любое действительное число и выразите <math>z</math> через <math>t</math>.
 
''Геометрический подход'': найдите множество чисел <math>z</math> на
Строка 940:
Посмотрите на рисунок 9.
Комплексное число однозначно определяется своим модулем (расстоянием до точки <math>O</math>)
и углом между <math>Oz</math> и действительной осью  — этот угол называется <b><i> аргументом
комплексного числа</i></b> и обозначается так:
<center><math>\arg z = \phi.</math></center>
Строка 1113:
Это правило следует непосредственно из теоремы 2 предыдущего параграфа.
 
Задача обратная возведению в <math>n</math>-ую степень  — это извлечение корней <math>n</math>-ой степени.
 
==== Задача 64[9] ====
Строка 1121:
<center><math>z^n = w,</math> [3]</center>
 
где <math>w</math>  — некоторое комплексное число. Найдите все комплексные числа <math>z</math>,
удовлетворяющие этому уравнению.
{{Акмар}}
Строка 1197:
имеет ровно <math>n</math> корней. Первый
корень <math>z_0</math> имеет модуль, равный корню <math>n</math>-ой степени из модуля
<math>w</math>, а аргумент  — в <math>n</math> раз меньший, чем аргумент <math>w</math>:
 
<center><math>|z_0|=\sqrt[n]{|w|}, \quad \arg z_0 = \frac{\arg w}{n}.</math></center>
Строка 1239:
== Многочлены ==
 
Многочлены от <math>x</math>  — это то, что можно получить из чисел и переменной <math>x</math>
с помощью умножения, сложения и вычитания.
Многочлены можно умножать, складывать и вычитать, получая снова многочлены.
Строка 1259:
Числа <math>a_1, \ldots, a_n</math> называются коэффициентами многочлена.
Коэффициент <math>a_n</math>, <math>a_n \ne 0</math>, называется ''''' старшим коэффициентом''''',
а число <math>n</math>  — ''''' степенью многочлена'''''
 
==== Задача 69 [8] ====
Строка 1295:
<center><math>\frac{x^5-x^3+x+1}{x^2+1}=?</math></center>
 
Cтепень числителя равна <math>5</math>, а знаменателя  — <math>2</math>.
Давайте вычтем и добавим к числителю <math>x^3(x^2+1)=x^5+x^3</math>, получим:
 
Строка 1310:
<center><math>\frac{x^5-x^3+x+1}{x^2+1} = x^3-2x + \frac{ 3x + 1}{x^2+1}.</math></center>
 
Здесь <math>x^3-2x</math> есть результат деления, а <math>3x+1</math>  — остаток от деления.
 
Примеры деления многочленов:
Строка 1495:
В комплексных числах любой многочлен (даже с комплексными коэффициентами)
раскладывается в произведение линейных многочленов.
Каждый множитель  — линейный многочлен  — дает один корень многочлена.
 
==== Задача 81[9] ====
Строка 1546:
корень (основная теорема алгебры). Если это действительный корень
<math>z=a</math>, то многочлен делится на <math>z-a</math>. После деления получаем
многочлен степени на <math>1</math> меньше  — для него утверждение верно.
Если корень комплексный <math>z_0</math>, то сопряженное число
<math>\overline{z_0}</math> тоже корень. А значит многочлен <math>P(z)</math> делится на
Строка 1553:
действительными коэффициентами. После деления получаем многочлен
 
на степени на <math>2</math> меньше  — для него тоже утверждение верно.
 
==== Задача 86[10] ====
Строка 1573:
=== Схема доказательства основной теоремы алгебры ===
 
==== Непрерывность  — отображение кривых ====
Пусть <math>p(z)</math> есть некоторый многочлен:
<center><math>p(z)=a_n\cdot z^n+\ldots + a_1\cdot z + a_0</math></center>
Строка 1583:
<center><math>z=R\cdot e^{i\cdot \phi}, \quad \phi\in[0,\, 2\pi].</math></center>
Тогда <math>p(z)=p(e^{i\cdot \phi})</math> будет тоже двигать по некоторой
кривой в комплексной плоскости  — малое изменение <math>\phi</math> будет вызывать
малое смещение <math>p(z)</math>.
Таким образом, мы можем говорить об отображении кривых —
Строка 1619:
совсем маленькими и не значительными.
На рисунке 13 изображены образы трех окружностей радиусов
<math>0,1</math>, <math>3</math>, <math>100</math>  — чем больше радиус, тем больше его образ похож на три оборота
вокруг центра.
 
=== Непрерывность  — движение кривых ===
 
[[Файл:complex15.jpg]]
Строка 1641:
Во время этой деформации кривая в какой-то момент пройдёт через
точку <math>z=0</math>. Действительно, при маленьком <math>R</math> точка <math>z=0</math>
находится снаружи замкнутой кривой, а при больших <math>R</math>  — внутри
замкнутой кривой, которая, более того, делает вокруг <math>z=0</math>
несколько оборотов. Это означает, что при некотором <math>R</math> и
Строка 1700:
многочленов степени <math>m-1</math> и меньше и называется
<b>'' алгеброй многочленов по модулю <math>p(x)</math></center>''.
В этой алгебре есть операция сложения  — обычная операция сложения многочленов,
и операция умножения  — обычное умножение многочленов, после которого берется остаток
при делении результата умножения на <math>p(x)</math>.
{{Акмар}}
Строка 1756:
больше <math>1</math>.
б) Докажите, что в алгебре многочленов над действительными числами не существует неприводимых многочленов степени
больше <math>2</math>  — неприводимы только те квадратные трехчлены, дискриминант которых отрицателен.
 
==== Задача 96[12] ====
Строка 1769:
которое сохраняет операции сложения и умножения.
Например, пусть элементу <math>a</math> из <math>A</math> соответствует элемент <math>b=f(a)</math> из <math>B</math>
<math>f</math>  — это функция, осуществляющая соответствие элементов <math>A</math> элементам <math>B</math>).
Пусть <math>a_1</math> и <math>a_2</math> произвольные элементы <math>A</math>. Тогда
<center><math>f(a_1+a_2)=f(a_1)+f(a_2),\quad f(a_1\cdot a_2) = f(a_1)\cdot f(a_2).</math></center>
Заметьте, что операции сложения и умножения слева от знака «равно»  — это операции на множестве <math>A</math>,
а операции сложения и умножения справа  — операции на множестве <math>B</math>.
 
'''Подсказка''' Это соответствие строится следующим образом. Любой неприводимый
квадратный трехчлен можно линейной заменой переменной <math>x\mapsto (\alpha x + \beta)</math>
превратить в <math>x^2+1</math>. По многочлену <math>q(x)</math> можно
найти многочлен <math>q(\alpha x + \beta) \; {\rm mod}\; p(x)</math>  — его два коэффициента
соответствуют мнимой и действительной части соответствующего <math>q(x)</math> комплексного числа.
Действительные и комплексные числа называются числовыми полями.
Строка 1784:
Если в каком-то числовом поле нет неприводимых многочленов степени больше <math>1</math>, то
оно называется алгебраически замкнутым.
Комплексные числа  — единственное алгебраически замкнутое числовое поле,
где бесконечное (точнее несчетное) число элементов.
 
== Матрицы ==
Матрицы  — это ещё одно обобщение чисел. Мы с вами изучим матрицы <math>2\times 2</math>.
 
'''Определение 11'''
{{Рамка}}
Матрицы <math>2\times 2</math>  — это таблицы чисел <math>2\times 2</math> вида
 
<center><math>\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{pmatrix},</math></center>
Строка 1803:
'''Примечание'''
 
Первый индекс соответствует номеру строчки, второй  — номеру столбца.
Правила сложения и умножения можно коротко обозначить так:
<center><math>(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij},</math></center>
Строка 1838:
 
Таким образом, единичная матрица обладает такими же свойствами,
как и число <math>1</math>  — умножение на <math>1</math> не меняет число.
 
'''Определение 13'''
Строка 1876:
'''Подсказка''' Обратите внимание на то, что получится снова матрица вида
<math>M(x,y)</math>, то есть матрица, у которой на диагонали (верхний левый
угол  — нижний правый) стоят одинаковые числа, а два числа на
другой диагонали противоположны.
 
Строка 1914:
 
== Рекомендуемая литература ==
* «Теорема Абеля в задачах», В.  Б.  Алексеев,  — М.:МЦНМО, 2001.
 
[[Категория:Журнал «Потенциал»]]
Источник — https://ru.wikibooks.org/wiki/Комплексные_числа