Высшая математика. Первый семестр/Функции и их графики: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
прывкнпрывкрве6гнпг4н5ы2к54н52ыкн25ыц |
JenVan (обсуждение | вклад) м Откат правок 109.108.33.85 (обс.) к версии Iniquity |
||
Строка 153:
'''Пример 5:''' Последовательность чисел Фибоначчи <math>f_n</math> задаётся так: два первых члена полагают равными единице (<math>f_1=1,f_2=1</math>), а при <math>n\geqslant 3</math> вычисляют <math>f_n</math> по формуле <math>f_n=f_{n-1}+f_{n-2}</math>. Таким образом, <math>f_3=1+1=2,f_4=2+1=3,f_5=3+2=5,f_6=5+3=8</math> и т. д.
=== Указание процедуры вычисления ===
Во многих случаях функцию <math>f</math> приходится задавать сложным образом, так как предыдущие способы задания функций не годятся. Приведём такой пример.
'''Пример:''' Пусть <math>a\in\mathbb{R}</math> и <math>f(a)</math> — это наибольший корень <math>x_{\max}</math> уравнения <math>ax^4+2x^2-3ax+a^2=0</math>. Этим условием задаётся некоторая функция <math>f:a\mapsto x_{\max}</math>. Её область определения <math>\mathcal{D}(f)</math> не пуста, так как, например, при <math>a=0</math> получается уравнение <math>2x^2=0</math>, у которого имеется единственный корень <math>x_{\max}=0</math>, так что <math>f(0)=0</math> и, следовательно, <math>0\in\mathcal{D}(f)</math>. Однако ни выразить значение <math>f(a)</math> формулой или иным «конечным» образом, ни полностью описать область определения <math>\mathcal{D}(f)</math> функции <math>f</math> не удаётся. В этом случае, однако, для задания функции <math>f</math> возможно указание некоторой процедуры вычисления её значений <math>f(a)</math>, которую можно реализовать в виде компьютерной программы. Эта процедура станет по каждому конкретно заданному значению <math>a=a_0</math> определять значение <math>x_{\max}=f(a_0)</math> либо указывать, что исходное уравнение не имеет корней, то есть что <math>a_0</math> не принадлежит <math>\mathcal{D}(f)</math>.
Изменяя число <math>a</math> в некотором диапазоне, можно найти соответствующие значения <math>f(a)</math> с заданной наперёд точностью2 и, например, построить график <math>y=f(a)</math> по точкам.
Описанный в предыдущем примере способ задания функции, то есть реализация вычисления значений функции в виде компьютерной процедуры, приобретает всё большее значение по мере развития вычислительной техники и расширения области её применения.
Если числовая функция <math>f(x)</math>, где <math>x\in A\subset\mathbb{R}</math>, реализуется в виде компьютерной процедуры, то строить график этой функции проще всего по точкам, то есть перебирая с некоторым шагом точки <math>x_k\in A</math>, <math>k=1,\dots,N</math>, и нанося на координатную плоскость <math>xOy</math> точки вида <math>(x_k;f(x_k))</math> и, быть может, для наглядности соединяя отрезками пары соседних точек. Этот способ, несмотря на свою подозрительную простоту, — вполне возможный (а может быть, и единственно реальный) способ построения графика при отсутствии какой-либо удобной формулы, выражающей значения <math>f(x)</math> через <math>x</math>.
Следует иметь в виду, что процедура, выдающая значения функции <math>f(x)</math> по заданным <math>x</math>, делает это, как правило, лишь приближённо, да и сами значения аргумента <math>x</math> часто также оказываются заданными приближённо. Если точность вычислений в какой-либо задаче очень важна, то следует проделать анализ возможной погрешности в значении <math>f</math>, вызванной тремя причинами:
# приближённостью задания переменного <math>x</math> (погрешностью аргумента);
# приближённостью способа получения значения <math>f(x)</math> (погрешностью метода);
# приближённостью выполнения арифметических действий при вычислениях по программе, реализующей метод на компьютере (погрешностью вычислений).
Тщательный анализ погрешности обычно бывает провести гораздо сложнее, чем разработать сам алгоритм вычисления <math>f(x)</math>. Если же такой анализ не проводится, то о точности произведённых вычислений судят по косвенным признакам: «хорошо ли ведёт себя» полученный график <math>y=f(x)</math>, согласуется ли он с интуитивными представлениями о том, как выглядит процесс, описываемый функцией <math>f</math>, и по другим косвенным признакам.
[[Категория:Высшая математика. Первый семестр|Функции и их графики]]
| |||