Знакомство с методом математической индукции: различия между версиями

[БАЗА] В простейшем случае, когда прямых две, известно, что они непаралельны, а значит пересекаются как минимум в одной точке. Они не могут пересекаться в более чем одной точке, так как согласно аксиомам [[w:Евклидова геометрия|Евклидовой геометрии]] (а именно, следствие из аксиомы «через две точки можно провести прямую и только одну»), если бы были хотя бы две точки пересечения у двух прямых, то эти прямые совпадали бы, то есть мы бы имели одну прямую, а не две. Имеем, что должно быть не менее одной (включительно) и не более одной (включительно) точек пересечения, а значит точка пересечения одна и утверждение верно.

 

 

[ШАГ] Попробуем доказать его для <math>k + 1</math> прямых. По предположению, <math>1</math>-я, <math>2</math>-я, …, <math>k</math>-я прямая пересекаются в <math>\frac{k(k-1)}{2}</math> точках. Рассмотрим <math>k + 1</math>-ю прямую и одну из прямых, обозначем её <math>i</math> из списка <math>1</math>-я, <math>2</math>-я, …, <math>k</math>-я прямая. Как мы уже доказали в [БАЗЕ] любые две прямые, удовлетворящие условиям задачи, пресекаются ровно в одной точке, а значит и прямые <math>k + 1</math> и <math>i</math> пересекаются в одной точке. Вспомним, что <math>i</math> обозначает любую прямую из списка <math>1</math>-я, <math>2</math>-я, …, <math>k</math>. Отсюда <math>k + 1</math>-я прямая пересекается с каждой из этих <math>k</math> прямых ровно в