Основы функционального программирования/Доказательство свойств функций: различия между версиями

Первоначальная викификация
(Пока лишь копия текста из MS Word - необходима стилизация)
 
(Первоначальная викификация)
= Лекция 9. «Доказательство свойств функций» =
 
Формальная задача: пусть имеется набор функций f = <f1, ..., fn>, определённых на областях D = <D1, ..., Dn>. Требуется доказать, что для любого набора значений d имеет место некоторое свойство, т.е.:
 
,
,
 
где P — рассматриваемое свойство. Например:
1.#
2.#
3.#
 
Вводится принципиальное ограничение на рассматриваемые свойства — свойства только тотальные, т.е. справедливые для всей области D.
 
Далее рассматриваются некоторые виды областей определения D...
 
1. D — линейно упорядоченное множество.
'''1. D — линейно упорядоченное множество.'''
 
Полуформально линейно упорядоченное множество можно определить как такое множество, для каждых элементов которого можно сказать, какой меньше (или больше), либо они равны, т.е.:
 
.
.
 
В качестве примера можно привести множество целых чисел. Однако линейно упорядоченные множества встречаются в мире функционального программирования очень редко. Взять хотя бы простейшую структуру, которую очень любят обрабатывать в функциональном программировании — список. Для списков уже довольно сложно определить отношение порядка.
 
Для доказательства свойств функций на линейно упорядоченных множествах достаточно провести индукцию по данным. Т.е. достаточно доказать два пункта:
 
1. — базис индукции;
2. #шагбазис индукции.;
# — шаг индукции.
 
В силу того, что структуры данных редко образуют линейно упорядоченные множества, более эффективным способом оказывается применение метода индукции по построению типа D.
 
2. D — определяется как индуктивный класс
'''2. D — определяется как индуктивный класс'''
 
Из прошлой лекции известно, что индуктивный класс определяется через ввод базиса класса (это либо набор каких либо констант di = 0,n  D, либо набор первичных типов Ai = 0,n : d  Ai  d  D. Также индуктивный класс определяется при помощи шага индукции — заданы конструкторы g1, ..., gm, определённые над Ai и D, и справедливо, что:
 
.
.
 
В этом случае доказательство свойств функций также резонно проводить в виде индукции по даным. Метод индукции по даным в этом случае также очень прост:
 
1. P (f (d)) необходимо доказать для базиса класса;
#P (f (d)) необходимо доказать для базиса класса;
2. Шаг индукции: P (f (d)) = P (f (gi (d))).
#Шаг индукции: P (f (d)) = P (f (gi (d))).
 
Например, для доказательства свойств функций для списков (тип List (A)), достаточно доказать рассматриваемое свойство для двух следующих случаев:
 
1. P (f ([])).
#P (f ([])).
2. .
# .
 
Доказательство свойств функций над S-выражениями (тип S-expr (A)) можно проводить на основе следующей индукции:
 
1. .
2. # .
# .
Пример 23. Доказать, что .
 
'''Пример 23. Доказать, что .'''
 
Для доказательства этого свойства можно использовать только определение типа List (A) и самой функции append (в инфиксной записи используется символ *).
 
1. L = [] : [] * [] = [] = L. Базис индукции доказан.
#L = [] : [] * [] = [] = L. Базис индукции доказан.
2. . Теперь пусть применяется конструктор: a : L. Необходимо доказать, что (a : L) * [] = a : L. Это делается при помощи применения второго клоза определения функции append:
# . Теперь пусть применяется конструктор: a : L. Необходимо доказать, что (a : L) * [] = a : L. Это делается при помощи применения второго клоза определения функции append:
.
 
Пример 24. Доказать ассоциативность функции append.
.
 
'''Пример 24. Доказать ассоциативность функции append.'''
 
Т.е. необходимо доказать, что для любых трех списков L1, L2 и L3 имеет место равенство (L1 * L2) * L3 = L1 * (L2 * L3). При доказательстве индукция будет проводиться по первому операнду, т.е. списку L1:
 
1. L1 = []:
#L1 = []:
([] * L2) * L3 = (L2) * L3 = L2 * L3.
([] * (L2) * L3) = (L2) * L3) = L2 * L3.
[] * (L2 * L3) = (L2 * L3) = L2 * L3.
2. Пусть для списков L1, L2 и L3 ассоциативность функции append доказана. Необходимо доказать для (a : L1), L2 и L3:
#Пусть для списков L1, L2 и L3 ассоциативность функции append доказана. Необходимо доказать для (a : L1), L2 и L3:
((a : L1) * L2) * L3 = (a : (L1 * L2)) * L3 = a : ((L1 * L2) * L3).
((a : L1) * (L2) * L3) = (a : (L1 * (L2)) * L3 = a : ((L1 * L2) * L3).
(a : L1) * (L2 * L3) = a : (L1 * (L2 * L3)).
 
Как видно, последние два выведенных выражения равны, т.к. для списков L1, L2 и L3 ассоциативность полагается доказанной.
 
Пример 25. Доказательство тождества двух определений функции reverse.
'''Пример 25. Доказательство тождества двух определений функции reverse.'''
 
Определение 1:
 
reverse [] = []
reverse (H : T)[] = (reverse T) * [H]
reverse (H : T) = (reverse T) * [H]
 
Определение 2:
reverse' L = rev L []
 
rev [] reverse' L = rev L []
rev (H : T) L = rev T (H : L)
rev [] L = L
rev (H : T) L = rev T (H : L)
 
Видно, что первое определение функции обращения списков — это обычное рекурсивное определение. Второе же определение использует аккумулятор. Требуется доказать, что:
 
.
.
1. Базис — L = []:
 
reverse [] = [].
reverse’#Базис [] = rev [] []L = [].:
reverse [] = [].
2. Шаг — пусть для списка L тождество функций reverse и reverse’ доказано. Необходимо доказать его для списка (H : L).
reverse reverse’ (H : L)[] = (reverserev L) *[] [H] = (reverse’ L) * [H].
#Шаг — пусть для списка L тождество функций reverse и reverse’ доказано. Необходимо доказать его для списка (H : L).
reverse’ (H : L) = rev (H : L) [] = rev L (H : []) = rev L [H].
reverse (H : L) = (reverse L) * [H] = (reverse’ L) * [H].
reverse’ (H : L) = rev (H : L) [] = rev L (H : []) = rev L [H].
 
Теперь необходимо доказать равенство двух последних выведенных выражений для любых списков над типом A. Это также делается по индукции:
2.1. ##Базис — L = []:
(reverse’ []) * [H] = (rev [] []) * [H] = [] * [H] = [H].
rev [] [H] = [H].
2.2. ##Шаг — L = (A : T):
(reverse’ (A : T)) * [H] = (rev (A : T) []) * [H] = (rev T (A : [])) * [H] = (rev T [A]) * [H].
rev (A : T) [H] = rev L (A : H).
 
Здесь произошло выпадение в дурную бесконечность. Если дальше пытаться проводить доказательство по индукции для новых выведенных выражений, то эти самые выражения будут все усложняться и усложняться. Но это не причина для того, чтобы отчаиваться, ибо доказательство всё равно можно провести. Надо просто придумать некую «индукционную гипотезу», как это было сделано в предыдущем примере.
 
Индукционная гипотеза: (reverse’ L1) * L2 = rev L1 L2. Эта индукционная гипотеза является обобщением выражения (reverse’ L) * [H] = rev L [H].
 
Базис индукции для этой гипотезы очевиден. Шаг индукции в применении к выражению в пункте 2.2 выглядит следующим образом:
(reverse’ (A : T)) * L2 = (rev (A : T) []) * L2 = (rev T [A]) * L2 = ((reverse’ T) * [A]) * L2 = = (reverse’ T) * ([A] * L2) = (reverse’ T) * (A : L2).
rev (A : T) L2 = rev T (A : L2) = (reverse’ T) * (A : L2).
 
Что и требовалось доказать.
 
Общий вывод: в общем случае для доказательства свойств функций методом индукции может потребоваться применение некоторых эвристических шагов, а именно введение индукционных гипотез. Эвристический шаг — это формулирование утверждения, которое ниоткуда не следует. Таким образом, доказательство свойств функций есть своего рода творчество.
271

правка