Теория музыки для математиков/Тональный ряд: различия между версиями

Содержимое удалено Содержимое добавлено
м Категоризация по запросу на w:ВП:РДБ
Нет описания правки
Строка 18:
''Достаточность.'' Опять от противного. Пусть существуют такие соседние в S звуки t и t*, что t*-t > 2. Тогда между ними найдутся как минимум два звука x < y из T, не принадлежащих S. Т.е. ни x, ни #x не принадлежат S, что противоречит нашей посылке. Достаточность тоже доказана.
 
'''Лемма 2.''' Если n – мощность порождающего множества S, то 6 Ј< n Ј< 12.
 
'''Доказательство.''' Обозначим через x – количество полутоновых интервалов между соседними элементами стандартной последовательности S, а через y – количество тоновых интервалов. Из того, что общее количество элементов – n следует, что x + y = n. Суммарная же длина всех интервалов составляет очевидно 12: x + 2y = 12. Очевидно также, что как x, так и y – неотрицательные. Получаем такую систему уравнений:
Строка 24:
x + 2y = 12
x + y = n (4)
xі0x>0, yі0y>0
 
Решая систему относительно x и y, получаем
 
x = 2n – 12 і> 0 (5)
y = 12 – n і> 0
 
Откуда непосредственно вытекает искомый результат.