Теория музыки для математиков/Физические основы звука: различия между версиями

Нет описания правки
 
Отсюда видно, что каждая функция u<sub>n</sub> представляет собой гармоническое колебание с частотой
<math>\omega_n = {{n\pi a} \over l}</math> и фазой <math>\phi_n</math>. Амплитуда же колебаний для разных точек разная. На концах струна неподвижна. Все точки струны одновременно достигают своего максимального отклонения в ту или другую сторону и одновременно проходят положения равновесия. Такие колебания называются ''стоячими волнами''. Неподвижные точки называются ''узлами'' стоячей волны. Посредине между узлами расположены точки, в которых отклонения достигают максимума. Эти точки назывются ''пучностями'' стоячей волны.
 
<br>
<div style="border: 1px solid #00F; margin: auto 30px; padding: 5px; text-align: center;">
Вывод: колебание конечной струны представляет собой бесконечную сумму стоячих волн <math>u_n(x,t)</math>, каждая из которых имеет постоянную частоту колебания <math>\omega_n={{n\pi a} \over l}</math> и изменяющуюся по длине струны амплитуду <math>A_n(x)=\sqrt{a_n^2 + b_n^2}\sin{{n\pi \over l} x}</math>. В k-й стоячей волне имеется k пучностей и (k+1) узлов.
</div>
<br>
 
Вернёмся к музыкальной интерпретации:
# Мы видим, что звуки состоят из суммы гармонических колебаний. Назовём эти отдельные гармоники ''идеальными звуками'', ''тонами'' или просто ''звуками'' (нем. [[w:de:Ton (Musik)|Ton]]). Такие звуки хоть и не существуют в природе в чистом виде, представляют однако полезную абстракцию, упрощённую модель. Такие звуки можно характеризовать частотой (f).
 
# Реальный звук струны состоит из звука ''основной частоты'' <math>w_1 = {{\pi a} \over l}</math>, а также ''обертонов'' (''верхних тонов'', ''гармоник'') - <math>w_2 = {{2\pi a} \over l}, ..., w_k = {{k\pi a} \over l}</math>. Такой сложный звук, состоящий из основного тона и обертонов, называется в немецком языке [[w:de:Klang|Klang]]. Основной тон иногда для удобства называют первым обертоном. Соотношение частот обертонов к основному тону даёт нам ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, ...
Чистых колебаний заданной частоты в природе не бывает. Даже колеблющаяся струна – излюбленная модель для изучения звука – издает кроме основного тона еще и множество ''обертонов'' – звуков кратных частот.
#Звуки, не имеющие основной частоты вовсе (и не описывающиеся волновым уравнением) назовем ''шумами'' и не будем рассматривать вовсе.
 
Обертоны строятся по разным принципам в зависимости от колеблющегося тела. Колебания струны порождают обертоны, отношения которых к основной частоте задаются рядом натуральных чисел: 1, 2, 3, ...
 
...
 
Итого:
#Интересующие нас звуки - это сумма гармонических колебаний, в которых можно выделить основную частоту и обертоны.
#Звуки, не имеющие основной частоты вовсе назовем ''шумами'' и не будем рассматривать вовсе.
#Полезная абстракция для дальнейшего изучения - идеальные колебания на определенной частоте (f).
Идеальные звуки: ''тонами'' или просто ''звуками'' (нем. [[w:de:Ton (Musik)|Ton]]).
#Реальные музыкальные звуки - это наложение тонов. Все вместе они образуют сложный звук (нем. [[w:de:Klang|Klang]]), содержащий звук основной частоты и обертоны.
 
 
107

правок