Теория музыки для математиков/Физические основы звука: различия между версиями

нет описания правки
Нет описания правки
</center>
 
Здесь t - время; x - координаты струны в положении равновесия; <math>{u=u(x,t)}</math> - неизвестная функция, выражающая отклонение точки с координатой x в момент времени t от положения равновесия; a<sup>2</sup> - коэффициент пропорциональности, характеризующий упругие свойства струны (<math>a=\sqrt{T/\rho}</math>, T - сила натяжения струны, <math>\rho</math> - плотность однородной струны). Предполагается, что струна совершает малые колебания, просиходяшие в однородной плоскости.
 
Волновое уравнение есть не что иное, как следствие второго закона Ньютона. Левая часть - ускорение струны в точке x, а правая часть - отнесенная к массе струны сила, вызывающая это ускорение, которая тем больше, чем больше вогнутость струны <math>{\partial ^2u \over \partial x^2}</math>.
 
Мы не будем здесь решать волновое уравнение, а лишь отметив заслуги Д'Аламбера, Даниила Бернулли, Эйлера и Фурье, приведём конечный результат.
 
<center>
<math>u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty u_n (x,t),</math><br>
<math>u_n(x,t) = A_n(x) \sin\left({{n\pi{a} \over l}t + \phi_n}\right)</math><br>
<math>A_n(x)=\sqrt{a_n^2 + b_n^2}\sin{{n\pi \over l} x}.</math><br>
</center>
 
Отсюда видно, что каждая функция u<sub>n</sub> представляет собой гармоническое колебание с частотой
<math>\omega_n = {n\pi a} \over l</math> и фазой <math>\phi_n</math>. Амплитуда же колебаний для разных точек разная. На концах струна неподвижна. Все точки струны одновременно достигают своего максимального отклонения в ту или другую сторону и одновременно проходят положения равновесия. Такие колебания называются ''стоячими волнами''. Неподвижные точки называются ''узлами'' стоячей волны. Посредине между узлами расположены точки, в которых отклонения достигают максимума. Эти точки назывются ''пучностями'' стоячей волны.
 
<div style="border: 1px solid #00F; margin: auto 30px; padding: 5px; text-align: center;">
Вывод: колебание конечной струны представляет собой бесконечную сумму стоячих волн <math>u_n(x,t)</math>, каждая из которых имеет постоянную частоту колебания <math>\omega_n={n\pi a} \over l</math> и изменяющуюся по длине струны амплитуду <math>A_n(x)=\sqrt{a_n^2 + b_n^2}\sin{{n\pi \over l} x}</math>. В k-й стоячей волне имеется k пучностей и (k+1) узлов.
</div>
 
 
Чистых колебаний заданной частоты в природе не бывает. Даже колеблющаяся струна – излюбленная модель для изучения звука – издает кроме основного тона еще и множество ''обертонов'' – звуков кратных частот.
 
107

правок