Теория музыки для математиков/Физические основы звука: различия между версиями

Значительно позже, в XVIII веке, после работ Ньютона и Лейбница в области физики и дифференциального исчисления, было выведено уравнение колебания струны - так называемое ''волновое уравнение'' (породившее новую область в науке - математическую физику).
 
<center>
<math>{\partial ^2u \over \partial t^2} = a^2{\partial ^2u \over \partial x^2}</math>
</center>
 
Здесь t - время; x - координаты струны в положении равновесия; <math>u=u(x,t)</math> - неизвестная функция, выражающая отклонение точки с координатой x в момент времени t от положения равновесия; a<sup>2</sup> - коэффициент пропорциональности, характеризующий упругие свойства струны (<math>a=\sqrt{T/\rho}</math>, T - сила натяжения струны, <math>\rho</math> - плотность однородной струны). Предполагается, что струна совершает малые колебания, просиходяшие в однородной плоскости.
<math>a=\sqrt{T/\rho}</math>
 
Волновое уравнение есть не что иное, как следствие второго закона Ньютона. Левая часть - ускорение струны в точке x, а правая часть - отнесенная к массе струны сила, вызывающая это ускорение, которая тем больше, чем больше вогнутость струны <math>{\partial ^2u \over \partial x^2}</math>.
 
Здесь T - сила натяжения струны, <math>\rho</math> - плотность однородной струны.
Чистых колебаний заданной частоты в природе не бывает. Даже колеблющаяся струна – излюбленная модель для изучения звука – издает кроме основного тона еще и множество ''обертонов'' – звуков кратных частот.
107

правок