Викиучебник

Участник:SVDer/Черновики/ОДУ/Уравнения высших порядков/Линейные уравнения: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
Новая страница: «'''Линейным уравнением n-го порядка''' называется уравнение вида <math>y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \ldots + a_{n-1} ...»
 
Нет описания правки
 
Строка 68:
</div></div>
 
=== Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с по-стояннымипостоянными коэффициентами ===
'''Теорема наложения'''. Если <math>y_1</math> и <math>y_2</math> являются решениями неоднородного уравнения для различных правых частей <math>F_1</math> и <math>F_2</math>, то их сумма <math>y = y_1 + y_2</math> будет решением такого же уравнения с правой частью <math>F = F_1 + F_2</math>.
 
Строка 144:
</div></div>
 
 
<!--
=== Решение линейных неоднородных дифференциальных уравне-нийуравнений с постоянными коэффициентами операторным методом ===
При отыскании неопределённых коэффициентов получаются довольно громоздкие вычисления.
Операторный метод (метод операционного исчисления) позволяет упростить эту процедуру.
Основная идея этого метода — переход по определённым правилам от дифференциальных уравнений к вспомо-гательнымвспомогательным алгебраическим, из решения которого восстанавливается решение дифференциального уравнения.
Основное понятие операционного исчисления — преобразование Лапласа, которое ставит в соответствие функции действительного переменного <math>f(t)</math>, определённой при <math>t > 0</math>, функцию <math>F(p)</math>, оп-ределяемуюопределяемую равенством <math>F(p) = \int_0^\infty f(t)e^{-pt}dt</math>.
Функцию <math>f(t)</math> называют оригина-ломоригиналом, <math>F(p)</math> –— изображением.
Преобразование Лапласа обозначают <math>f(t) \xrightarrow[{}^{{}^.}]{{}_.} F(p)</math>.
 
Для существования и сходимости несобственных интегралов необхо-димо, чтобы оригинал удовлетворял условиям:
1) # На любом отрезке <math>[a,b]</math> функция <math>f(t)</math> и её первая производная долж-ныдолжны быть непрерывны или иметь конечное число точек разрыва первого рода.
2) # При отрицательном аргументе оригинал должен быть равен 0.
3) # Функция <math>f(t)</math> должна возрастать не быстрее, чем экспонента, то есть <math>|f(t)| \le Me^{st}</math>.
 
Некоторые свойства преобразования Лапласа:
1) # Свойство линейности: если <math>f_i(t) \xrightarrow[{}^{{}^.}]{{}_.} F_i(p)</math> и <math>C_i = \const</math>, то <math>\sum_i C_i f_i(t) \xrightarrow[{}^{{}^.}]{{}_.} \sum_i C_i F_i(p)</math>.
2) # Свойство подобия: если <math>f(t) \xrightarrow[{}^{{}^.}]{{}_.} F(p)</math> и <math>a > 0</math>, то <math>f(at) \xrightarrow[{}^{{}^.}]{{}_.} \frac 1a F(\frac pa)</math>.
3) # Смещение изображения: если <math>f(t) \xrightarrow[{}^{{}^.}]{{}_.} F(p)</math> и <math>p_0 > 0</math>, то <math>e^{-p_0t}f(t) \xrightarrow[{}^{{}^.}]{{}_.} F(p + p_0)</math>.
4) # Запаздывание координатыоригинала: если <math>f(t) \xrightarrow[{}^{{}^.}]{{}_.} F(p)</math> и <math>t_0 > 0</math>, то <math>f(t - t_0) \xrightarrow[{}^{{}^.}]{{}_.} e^{-t_0p}F(p)</math>.
5) # Дифференцирование координатыоригинала: если <math>f(t) \xrightarrow[{}^{{}^.}]{{}_.} F(p)</math> и первая произ-воднаяпроизводная оригинала удовлетворяет условию существования изображения, то <math>f'(t) \xrightarrow[{}^{{}^.}]{{}_.} pF(p) - f(0)</math>. Аналогично, если <math>n</math>-я производная удовлетворяет этому условию, то <math>f^{(n)}(t) \xrightarrow[{}^{{}^.}]{{}_.} p^nF(p) - \left(p^{n-1}f(0) + p^{n-2}f'(0) + \ldots + pf^{(n-1)}(0)\right)</math>. Значения при аргументе равном нулю являются начальными условиями.
Считать несобственный интеграл каждый раз неудобно, поэтому изо-бражения большинства функций уже посчитаны и сведены в таблицу.
№ п/п Оригинал Изображение № п/п Оригинал Изображение
1
4
 
Считать несобственный интеграл каждый раз неудобно, поэтому изображения часто встречающихся функций уже посчитаны и сведены в таблицу.
2
{| class="standart"
!Оригинал||Изображение
5
|-
|<math>t^n</math>||<math>\frac{n!}{p^{n+1}}</math>
|-
|<math>e^{-at}</math>||<math>\frac{1}{p+a}</math>
|-
|<math>\sin kt</math>||<math>\frac{k}{p^2 + k^2}</math>
|-
|<math>\cos kt</math>||<math>\frac{p}{p^2 + k^2}</math>
|-
|<math>t\sin kt</math>||<math>\frac{2kp}{(p^2 + k^2)^2}</math>
|-
|<math>t\cos kt</math>||<math>\frac{p^2 - k^2}{(p^2 + k^2)^2}</math>
|}
 
Для решения дифференциального уравнения к нему применяют преобразование Лапласа.
3
Так как одна из функций уравнения неизвестна, то её изображение также неизвестно.
Решают получаемое уравнение относительно неизвестного изображения.
6
Таким образом, получается выражение для изображения неизвестной функции.
По известному изображению находят оригинал.
Часто получаемая функция отсутствует в таблице, тогда необходимо применять свойства преобразования Лапласа и преобразования элементарной алгебры.
 
В случае, когда начальные условия неизвестны (необходимо найти общее решение), их заменяют неизвестными постоянными.
Для решения дифференциального уравнения применяют к нему преоб-разование Лапласа. Так как одна из функций уравнения неизвестна, то её изображение также неизвестно. Решают получаемое уравнение относительно неизвестного изображения. Таким образом, получается выражение для изо-бражения неизвестной функции. По известному изображению находят ори-гинал. Часто получаемая функция отсутствует в таблице, тогда необходимо применять свойства преобразования Лапласа и преобразования элементарной алгебры.
В случае, когда начальные условия неизвестны (необходимо найти об-щее решение), их заменяют неизвестными постоянными.
Примеры.
1. Решить уравнение , начальные условия , , .
Для неизвестной функции изображение неизвестно, примем . Тогда . Получа-ем . Откуда . Поскольку по-добной функции в таблице нет, то её необходимо упростить. Из элементар-ной алгебры известно, что дробь с произведением в знаменателе можно за-менить суммой дробей.
. Приравняв числители, получаем
. Многочлен инвариантен, значит
, значит . Последнее слагаемое также отсутствует в таблице, попробуем выделить в знаменателе полный квадрат.
.
, , , .
.
2. Решить уравнение
Для неизвестной функции изображение неизвестно, примем . Тогда , . Начальные условия не-известны, заменяем их произвольными постоянными. Получаем . Откуда . Поскольку подобной функции в таблице нет, то её необходимо упростить.
. При-равняв числители, получаем
.
Многочлен инвариантен, значит
, значит
.
, , ,
.
 
<div style="border:1px dotted #aaa;background-color:white;padding:0px;">
<div style="border:3px solid #eee;background-color:white;padding-right:1em;padding-top:0.5em;padding-bottom:0.5em;">
'''Примеры'''
 
1. Решить уравнение <math>\stackrel{\ldots}{x} + x = e^{2t}</math>, начальные условия <math>x(0) = 0,\; \dot x(0) = -1,\; \ddot x(0) = 2</math>.
 
Для неизвестной функции изображение неизвестно, примем <math>x(t) \xrightarrow[{}^{{}^.}]{{}_.} X(p)</math>.
Тогда <math>\stackrel{\ldots}{x} \xrightarrow[{}^{{}^.}]{{}_.} p^3X(p) - p^2 x(0) - p \dot x(0) - \ddot x(0) = p^3X(p) + p - 2</math>.
 
Получаем уравнение <math>p^3X(p) + p - 2 + X(p) = \frac{1}{p-2}</math>.
 
<math>X(p) = -\frac{p^2 - 4p + 3}{(p-2)(p^3+1)}</math>
 
Поскольку подобной функции в таблице нет, то её необходимо упростить. Из элементарной алгебры известно, что дробь с произведением в знаменателе можно за-менить суммой дробей.
 
<math>X(p) = -\frac{p^2 - 4p + 3}{(p-2)(p^3+1)} = -\frac{p^2 - 4p + 3}{(p-2)(p+1)(p^2-p+1)} = \frac{A}{p-2} + \frac{B}{p+1} + \frac{Cp + D}{p^2-p+1} = \frac{A(p+1)(p^2-p+1) + B(p-2)(p^2-p+1) + (Cp+D)(p-2)(p+1)}{(p-2)(p+1)(p^2-p+1)}</math>
 
Приравняв числители, получаем
 
<math>(A+B+C)p^3 + (-3B-C+D)p^2 + (3B-2C-D)p + (A-2B-2D) = -(p^2 - 4p + 3)</math>
 
<math>\begin{cases}
A + B + C & = 0 \\
-3B - C + D & = -1 \\
3B -2C - D & = 4 \\
A - 2B -2D & = -3
\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}
A = \frac 19 \\
B = \frac 89 \\
C = -1 \\
D = \frac 23
\end{cases}</math>
 
Таким образом <math>X(p) = \frac 19\frac 1{p-2} + \frac 89 \frac 1{p+1} - \frac{p-\frac 23}{p^2 - p + 1}</math>.
 
Последнее слагаемое также отсутствует в таблице, попробуем выделить в знаменателе полный квадрат.
 
<math>\frac{p-\frac 23}{p^2 - p + 1} = \frac{p-\frac 23}{(p-\frac 12)^2 + \frac 34} = \frac{p-\frac 12}{(p-\frac 12)^2 + \frac 34} - \frac 16 \frac{1}{(p-\frac 12)^2 + \frac 34}</math>
 
<math>X(p) = \frac 19\frac 1{p-2} + \frac 89 \frac 1{p+1} - \frac{p-\frac 12}{(p-\frac 12)^2 + \frac 34} + \frac 16 \frac{1}{(p-\frac 12)^2 + \frac 34}</math>
 
<math>\frac{1}{p-2} \xleftarrow[{}^{{}^.}]{{}_.} e^{2t}</math>
 
<math>\frac 1{p+1} \xleftarrow[{}^{{}^.}]{{}_.} e^{-t}</math>
 
<math>\frac{p-\frac 12}{(p-\frac 12)^2 + \frac 34} \xleftarrow[{}^{{}^.}]{{}_.} e^{\frac 12t}\cos\frac{\sqrt 3}{2}t</math>
 
<math>\frac{1}{(p-\frac 12)^2 + \frac 34} \xleftarrow[{}^{{}^.}]{{}_.} \frac{2}{\sqrt 3}e^{\frac 12t}\sin\frac{\sqrt 3}{2}t</math>
 
<math>x(t) = \frac 19 e^{2t} + \frac 89 e^{-t} - e^{\frac 12t}\cos\frac{\sqrt 3}{2}t + \frac{1}{3\sqrt 3}e^{\frac 12t}\sin\frac{\sqrt 3}{2}t</math>
 
2. Решить уравнение <math>y'' + y' - 2y = \cos x - 3\sin x</math>
 
Для неизвестной функции изображение неизвестно, примем <math>y(x) \xrightarrow[{}^{{}^.}]{{}_.} Y(p)</math>.
Тогда <math>y'(x) \xrightarrow[{}^{{}^.}]{{}_.} pY(p) - y(0),\; y''(x) \xrightarrow[{}^{{}^.}]{{}_.} p^2Y(p) - py(0) - y'(0)</math>.
Начальные условия неизвестны, заменяем их произвольными постоянными.
 
Получаем <math>p^2Y(p) - (C_1 p + C_2) + pY(p) - C_1 - 2Y(p) = \frac{p}{p^2+1} - 3\frac{1}{p^2+1} = \frac{p-3}{p^2+1}</math>.
 
<math>Y(p) = \frac{C_1 p^3 + (C_1 + C_2)p^2 + (C_1 + 1)p + C_1 + C_2 - 3}{(p^2 + p - 2)(p^2 + 1)}</math>
 
Поскольку подобной функции в таблице нет, то её необходимо упростить.
 
<math>Y(p) = \frac{C_1 p^3 + (C_1 + C_2)p^2 + (C_1 + 1)p + C_1 + C_2 - 3}{(p^2 + p - 2)(p^2 + 1)} = \frac{A}{p-1} + \frac{B}{p+2} + \frac{Cp+D}{p^2 + 1} = \frac{A(p+2)(p^2 + 1) + B(p-1)(p^2 + 1) + (Cp+D)(p-1)(p+2)}{(p^2 + p - 2)(p^2 + 1)}</math>
 
Приравняв числители, получаем
 
<math>(A+B+C)p^3 + (2A-B+C-D)p^2 + (A+B-2C-D)p + (2A-B+2D) = C_1 p^3 + (C_1 + C_2)p^2 + (C_1 + 1)p + C_1 + C_2 - 3</math>
 
<math>\begin{cases}
A + B + C & = C_1 \\
2A - B + C - D & = C_1 + C_2 \\
A + B - 2C - D & = C_1 + 1 \\
2A - B + 2D & = C_1 + C_2 -3
\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}
A = \frac{2C_1 + C_2}{3} + \frac{106}{135} \\
B = \frac{C_1 - C_2}{3} - \frac{1}{135} \\
C = -\frac 79 \\
D = \frac 45
\end{cases}</math>
 
<math>Y(p) = \left(\frac{2C_1 + C_2}{3} + \frac{106}{135}\right)\frac{1}{p-1} + \left(\frac{C_1 - C_2}{3} - \frac{1}{135}\right) \frac{1}{p+2} + \frac 79\frac{p}{p^2+1} - \frac 45\frac{1}{p^2+1}</math>
 
<math>\frac{1}{p-1} \xleftarrow[{}^{{}^.}]{{}_.} e^t</math>
 
<math>\frac{1}{p+2} \xleftarrow[{}^{{}^.}]{{}_.} e^{-2t}</math>
 
<math>\frac{p}{p^2+1} \xleftarrow[{}^{{}^.}]{{}_.} \cos x</math>
 
<math>\frac{1}{p^2+1} \xleftarrow[{}^{{}^.}]{{}_.} \sin x</math>
 
<math>y(x) = \left(\frac{2C_1 + C_2}{3} + \frac{106}{135}\right)e^t + \left(\frac{C_1 - C_2}{3} - \frac{1}{135}\right) e^{-2t} + \frac 79\cos x - \frac 45\sin x</math>
 
</div></div>
 
<!--
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с ко-эффициентами-функциями.
=== Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с коэффициентами-функциями ===
Если известна фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения, то можно, аналогично уравнениям первой степени, получить решение неоднородного уравнения методом вариации произволь-ных постоянных. Записав решение в виде , где – фундаментальная система решений соответствующего однород-ного уравнения. Неизвестны n функций. Для их нахождения потребуем удов-летворения условий
Если известна фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения, то можно, аналогично уравнениям первой степени, получить решение неоднородного уравнения методом вариации произвольных постоянных. Записав решение в виде , где – фундаментальная система решений соответствующего однород-ного уравнения. Неизвестны n функций. Для их нахождения потребуем удов-летворения условий
Эти условия вводятся для того, чтобы производные от y до (n+1)-й включительно выглядели так, как будто – постоянные. Тогда вы-ражения для производных будут:
Источник — https://ru.wikibooks.org/wiki/Участник:SVDer/Черновики/ОДУ/Уравнения_высших_порядков/Линейные_уравнения