Участник:SVDer/Черновики/ОДУ/Уравнения высших порядков/Понижение порядка

Одним из основных методов является замена переменных, приводящая к более простым уравнениям, в частности, к уравнениям низшего порядка. Можно выделить 4 типа таких уравнений.

Только n-ая производная и переменная

Общее решение уравнения $y^{(n)}=f(x)$ получается последовательным интегрированием в виде

$y=C_{0}+C_{1}x+C_{3}x^{2}+\ldots +C_{n-1}x^{(n-1)}+\psi (x)$, где

$\psi (x)=\underbrace {\int \int \ldots \int } _{n\;times}f(x)\,(dx)^{n}$

Пример

Решить уравнение $y'''=x^{2}+e^{x}+\sin {\frac {1}{2}}x$. Последовательно интегрируем:

$y''=\int \left(x^{2}+e^{x}+\sin {\frac {1}{2}}x\right)\,dx={\frac {1}{3}}x^{3}+e^{x}-2\cos {1}{2}x+C'_{1}$,

$y'=\int \left({\frac {1}{3}}x^{3}+e^{x}-2\cos {1}{2}x+C'_{1}\right)\,dx={\frac {1}{12}}x^{4}+e^{x}-4\sin {\frac {1}{2}}x+C'_{1}x+C_{2}$,

$y=\int \left({\frac {1}{12}}x^{4}+e^{x}-4\sin {\frac {1}{2}}x+C'_{1}x+C_{2}\right)\,dx={\frac {1}{60}}x^{5}+e^{x}+8\cos {\frac {1}{2}}x+C_{1}x^{2}+C_{2}x+C_{3}$.

На практике нет смысла применять формулу $\psi (x)=\underbrace {\int \int \ldots \int } _{n\;times}f(x)\,(dx)^{n}$, поскольку интеграл в ней всё равно берётся последовательно, начиная с внутреннего, что полностью соответствует приведенному решению.

Уравнение не содержит явно переменную

Уравнение $\Phi (y,\,y',\,\ldots ,\,y^{(n)})=0$ сводится к уравнению на порядок ниже после замены ${\frac {dy}{dx}}=p,\;{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {dp}{dy}}{\frac {dy}{dx}}=p{\frac {dp}{dy}},\;\ldots$, где $p$ – функция, зависящая от $y$.

Пример

Решить уравнение $yy''-y'^{2}=0$.

Заменяем $y'=p,\;y''=p{\frac {dp}{dy}}$.

$yp{\frac {dp}{dy}}-p^{2}=0$

$y{\frac {dp}{dy}}-p=0$

${\frac {dp}{p}}={\frac {dy}{y}}$

$p=C_{1}y$

$y'=C_{1}y$

$y=C_{2}e^{C_{1}x}$

Уравнение не содержит явно функцию

Уравнение $\Phi (x,\,y',\,y'',\,\ldots ,\,y^{(n)})=0$ допускает понижение порядка заменой $y'=p$, где $p$ – функция, зависящая от $x$ (в отличие от предыдущего случая). Если в уравнение вместе с $y$ не входят (k–1) производная, то следует сделать замену $y^{(k)}=p$.

Пример

Решить уравнение $x^{3}y''+x^{2}y'''=1$.

Проводим замену: $y''=p,\;y'''=p'$, получаем $x^{2}p+x^{3}p'=1$, $p'+xp={\frac {1}{x^{2}}}$. Отсюда $p={\frac {\ln x}{x}}+{\frac {C'_{1}}{x}}$ или $y''={\frac {\ln x}{x}}+{\frac {C'_{1}}{x}}$. После двойного интегрирования получаем $y={\frac {1}{2}}\ln ^{2}x+(C'_{1}-1)x\ln x+(1-C'_{1}+C'_{2})x+C'_{3}$, или, вводя новые произвольные постоянные $C_{1}=C'_{1}-1,\;C_{2}=(1-C'_{1}+C'_{2}),\;C_{3}=C'_{3}$, получим

$y={\frac {1}{2}}\ln ^{2}x+C_{1}x\ln x+C_{2}x+C_{3}$.

Однородная функция

Уравнение $\Phi (x,\,y,\,y',\,\ldots ,\,y^{(n)})=0$, где функция $\Phi$ – однородная относительно неизвестной функции и всех ее производных (определение однородности было дано выше), допускает понижение порядка при введении новой функции $z={\frac {y'}{y}}$ (то есть $y=e^{\int z\,dx}$).

Пример

Решить уравнение $yy''-y'^{2}=0$.

$z={\frac {y'}{y}}$

$z'={\frac {yy''-y'^{2}}{y^{2}}}={\frac {0}{y^{2}}}=0$

$z'=0\Rightarrow z=C_{1}$

$y=e^{\int C_{1}\,dx}=e^{C_{1}x+\ln C_{2}}$

$y=C_{2}e^{C_{1}x}$