Участник:SVDer/Черновики/ОДУ/Уравнения высших порядков: различия между версиями

Содержимое удалено Содержимое добавлено

Линейный

Текущая версия от 18:25, 21 декабря 2010

Общий вид дифференциального уравнения n-го порядка:

$\Phi (x,\,y,\,y',\,y'',\,\ldots ,\,y^{(n)})=0$

Уравнение, разрешенное относительно $y^{(n)}$ имеет вид

$y^{(}n)=f(x,\,y,\,y',\,y'',\,\ldots ,\,y^{(n-1)})$

Это уравнение при заданных начальных условиях^[1] имеет, как правило^[2], одно решение, называемое частным. Совокупность всех частных решений называется общим. Общее решение стараются представить в виде

$y=\varphi (x,\,C_{1},\,C_{2},\,\ldots ,\,C_{n})$

Введением новых переменных $y_{1}=y',\;y_{2}=y'',\;\ldots ,\;y_{n-1}=y^{(n-1)}$ уравнение n-го порядка можно свести к системе n уравнений.

${\begin{cases}{\frac {dy}{dx}}=y_{1}\\{\frac {dy_{1}}{dx}}=y_{2}\\\vdots \\{\frac {dy_{n-1}}{dx}}=f(x,\,y,\,y',\,y'',\,\ldots ,\,y^{(n-1)})\end{cases}}$

Примечания править

↑ В качестве начальных условий задаются значения функции и всех ее производных до (n-1)-го порядка включительно в некоторой точке.
↑ Исключение возможно только в случае, когда хотя бы одна из производных от $f$ по искомой функции и ее производным до (n-1)-го порядка включительно $\left[{\frac {\partial f}{\partial y}},\,{\frac {\partial f}{\partial y'}},\cdots \right]$ разрывна или не существует.

[1] В качестве начальных условий задаются значения функции и всех ее производных до (n-1)-го порядка включительно в некоторой точке.

[2] Исключение возможно только в случае, когда хотя бы одна из производных от $f$ по искомой функции и ее производным до (n-1)-го порядка включительно $\left[{\frac {\partial f}{\partial y}},\,{\frac {\partial f}{\partial y'}},\cdots \right]$ разрывна или не существует.

[1]

[2]