Участник:SVDer/Черновики/ОДУ/Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка/Метод Рунге-Кутты

В методе функциональных рядов последующее значение функции определялось через производные. Если функция $F(x,\,y)$ имеет сложный вид, то вычислять производные бывает затруднительно. Метод Рунге-Кутты использует значения только $y$ и $F$. Рассматривается метод четвертого порядка.

Пусть известно значение функции на предыдущем шаге, тогда определяют следующие числа:

1. $k_{1}=hF(x_{i-1},\,y_{i-1})$
2. $k_{2}=hF\left(x_{i-1}+{\frac {1}{2}}h,\,y_{i-1}+{\frac {1}{2}}k_{1}\right)$
3. $k_{3}=hF\left(x_{i-1}+{\frac {1}{2}}h,\,y_{i-1}+{\frac {1}{2}}k_{2}\right)$
4. $k_{4}=hF(x_{i-1}+h,\,y_{i-1}+k_{3})$

Затем значение на следующем шаге определяется по формуле

$y_{i}=y_{i-1}+{\frac {1}{6}}(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4})$

Пример Решить предыдущий пример методом Рунге-Кутты. Результаты вычисления опять сведем в таблицу.

Значения x	Аналитические значения y	Численно полученные значения	Относительная погрешность, 10-9 %
0	1,00000	1,00000	0,000
0,1	1,00250	1,00250	0,162
0,2	1,01005	1,01005	1,636
0,3	1,02276	1,02276	5,906
0,4	1,04081	1,04081	15,091
0,5	1,06449	1,06449	32,697
0,6	1,09417	1,09417	64,667
0,7	1,13032	1,13032	120,703
0,8	1,17351	1,17351	215,873
0,9	1,22446	1,22446	372,483
1,0	1,28403	1,28403	622,204

Максимальная ошибка составляет 6,22204·10^-7</math> %. Для рассмотренного примера метод Рунге-Кутты оказался самым точным.