Участник:SVDer/Черновики/ОДУ/Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка/Метод функциональных рядов

Пусть $y=f(x)$ — искомое решение. Если эта функция имеет непрерывные производные до (m+1)-го порядка включительно, то ее можно разложить по формуле Тейлора в окрестности точки $x_{k}$.

$y(x_{k}+h_{k})=y(x_{k})+{\frac {h_{k}}{1!}}y'(x_{k})+{\frac {h_{k}^{2}}{2!}}y''(x_{k})+\cdots +$${\frac {h_{k}^{m}}{m!}}y^{(}m)(x_{k})+R$,

где $R={\frac {h_{k}^{m+1}}{(m+1)!}}y^{(}m+1)(x_{k}+\theta h_{k}),\;0\leq \theta \leq 1$.

Если шаг интегрирования достаточно мал, то можно пренебречь остаточным членом и тогда $y_{k+1}=y_{k}+\sum _{i=1}^{m}{\frac {h_{k}^{i}}{i!}}y^{(}i)$. Для вычислений по этой формуле необходимы значения производных. Они определяются из исходного уравнения путем m-кратного дифференцирования.

Пример

Решить предыдущий пример методом функциональных рядов.

Ограничимся производными до третьей включительно.

$y'(x,\,y)={\frac {1}{2}}xy$,

$y''(x,\,y)={\frac {1}{2}}y+{\frac {1}{2}}xy'(x,\,y)={\frac {1}{2}}y+{\frac {1}{4}}x^{2}y$,

$y'''(x,\,y)={\frac {1}{2}}y'(x,\,y)+{\frac {1}{2}}xy+{\frac {1}{4}}x^{2}y'(x,\,y)={\frac {3}{4}}xy+{\frac {1}{8}}x^{3}y$.

Тогда $y_{i}=y_{i-1}+h_{i}y'(x_{i-1},\,y_{i-1})+{\frac {h_{i}}{2}}y''(x_{i-1},\,y_{i-1})+{\frac {h_{i}}{6}}y'''(x_{i-1},\,y_{i-1})$.

Полученные значения сведем в таблицу, аналогичную предыдущей.

Значения x	Аналитические значения y	Численно полученные значения	Относительная погрешность, %
0	1,000000	1,000000	0,0000
0,1	1,002503	1,002500	0,0003
0,2	1,010050	1,010044	0,0006
0,3	1,022755	1,022745	0,0010
0,4	1,040811	1,040797	0,0013
0,5	1,064494	1,064477	0,0017
0,6	1,094174	1,094152	0,0020
0,7	1,130319	1,130291	0,0025
0,8	1,173511	1,173476	0,0029
0,9	1,224460	1,224418	0,0035
1,0	1,284025	1,283974	0,0040

Максимальная ошибка составляет 0,0040%