Участник:SVDer/Черновики/ОДУ/Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка/Метод Эйлера

На каждом участке $(x_{i-1},\,x_{i})$ искомая функция приближается касательной. Тогда в каждой из точек приближенное решение можно найти по рекурсивной формуле $y_{i}=y_{i-1}+\left.y'\right|_{x=x_{i-1},\,y=y_{i-1}}\cdot (x_{i-1}-x_{i})=y_{i-1}+f(x_{i-1},\,y_{i-1})\cdot (x_{i-1}-x_{i})$. При этом на каждом следующем шаге добавляется ошибка. Решение будет более точным при более мелком шаге, но уменьшение шага ведет к увеличению времени интегрирования. Из-за быстрого возрастания погрешности этот метод используется в редких случаях, хотя реализовать его проще всего.

Пример

Найти методом Эйлера решение уравнения $y'={\frac {1}{2}}xy$ в промежутке $x\in (0,\,1)$ при начальном значении $y_{0}=1$ с постоянным шагом $h=0,1$.

Аналитическое решение $y=e^{{\frac {1}{4}}x^{2}}$.

Проведем вычисления по методу Эйлера, а также вычислим относительную погрешность на каждом шаге. Полученные результаты сведем в таблицу.

Значения x	Аналитические значения y	Численно полу-ченные значения	Относительная погрешность, %
0	1,0000	1,0000	0,00
0,1	1,0025	1,0000	0,25
0,2	1,0101	1,0050	0,50
0,3	1,0228	1,0150	0,75
0,4	1,0408	1,0303	1,01
0,5	1,0645	1,0509	1,28
0,6	1,0942	1,0772	1,56
0,7	1,1303	1,1095	1,84
0,8	1,1735	1,1483	2,15
0,9	1,2245	1,1942	2,47
1,0	1,2840	1,2480	2,81

Максимальная ошибка составляет 2,81%