Участник:SVDer/Черновики/ОДУ/Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка/Линейное дифференциальное уравнение: различия между версиями

Содержимое удалено Содержимое добавлено
Новая страница: «Дифференциальное уравнение первого порядка <math>M(x,\,y)\,dx + N(x,\,y)\,dy = 0</math> называется '''линейны...»
 
(нет различий)

Текущая версия от 12:00, 16 декабря 2010

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если отношение содержит лишь в первой степени (линейно относительно ). Его принято записывать в виде . Если правая часть уравнения равна 0, то такое уравнение называется однородным. Однородное линейное дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, общее решение: .

Пример
Решить уравнение . Разделяя переменные, получаем , откуда  или . Такой же результат дает формула . На практике применение готовой формулы не дает существенного преимущества перед последовательными преобразованиями.

Неоднородное дифференциальное уравнение можно решать двумя способами:

  • Методом вариации произвольной постоянной;
  • Представления решения в виде произведения.

Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) править

Вначале составляется и решается однородное уравнение, соответствующее неоднородному. Затем произвольная константа заменяется неизвестной функцией от . Полученное решение подставляется в исходное уравнение, и после преобразований находится неизвестная функция.

Пример
Решить уравнение .
Составляем однородное уравнение . Его решение . Заменяем произвольную константу неизвестной функцией: , подставляем решение в исходное уравнение:







Поиск решения в виде произведения (метод Бернулли) править

Будем искать решение в виде произведения двух неизвестных функций: . Подставив такое решение в исходное уравнение, полу-чим одно уравнение с двумя неизвестными функциями: . Сгруппируем слагаемые: . Поскольку одной из функций можно задаться произвольно[1], то такое уравнение можно разбить на систему:

.

Первое уравнение этой системы — с разделяющимися переменными — решается без учета произвольной постоянной. Полученное решение подставляется во второе уравнение, откуда находится второй сомножитель. При этом получаемые в процессе решения интегралы полностью совпадают с интегралами, получаемыми методом вариации произвольной постоянной.

Пример
Решить уравнение .
Будем искать решение в виде . Получаем . 
Группируем слагаемые: . 
Разбиваем на систему: 
.
Первое уравнение соответствует однородному, его решение (см. предыдущий пример) , но нам нужно не учитывать произвольную постоянную, поэтому . Подставив это значение во второе уравнение, получим , что соответствует уравнению  в предыдущем примере. . 

Примечания править

  1. Пример из чисел:  . Аналогично любую функцию можно представить в виде бесконечного числа произведений функций. Если одной задаться произвольно, то вторую можно однозначно найти.