Участник:SVDer/Черновики/ОДУ/Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка/Однородные уравнения: различия между версиями

Содержимое удалено Содержимое добавлено

Линейный

Текущая версия от 10:06, 15 декабря 2010

Если функции $M(x,\,y)$ и $N(x,\,y)$ являются однородными^[1] функциями своих аргументов одинаковой степени, то уравнение $M(x,\,y)\,dx+N(x,\,y)\,dy=0$ называется однородным. Его можно привести к виду $y'=f(x,\,y)={\frac {M(x,\,y)}{N(x,\,y)}}$ . Поскольку $M(x,\,y)$ и $N(x,\,y)$ — однородные функции одинаковой степени, то функция $f(x,\,y)$ — однородная нулевой степени^[2]. Можно записать $f(x,\,y)=f(tx,\,ty)$ . Параметр $t$ произвольный, предположим $t={\frac {1}{x}}$ , получим $f(x,\,y)=f(1,\,{\frac {y}{x}})$ . Введем новую переменную $u={\frac {y}{x}}$ , тогда $f(x,\,y)=\varphi (u)$ , исходное уравнение принимает вид $y'=varphi(u)$ .

$y=ux,y'=u'x+ux'=u'x+u$ $u'x+u=\varphi (u)$ , откуда $u'={\frac {\varphi (u)-u}{x}}$ – уравнение с разделяющимися переменными.

Необходимо помнить, что при такой замене можно потерять решение $x=0$ .

Пример

Проинтегрировать уравнение  $\left(y+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)\,dx-x\,dy=0$ .

Проверяем однородность.

 $M(x,\,y)=\left(y+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)$ 
 $M(\lambda x,\,\lambda y)=\left(\lambda y+{\sqrt {(\lambda x)^{2}+(\lambda y)^{2}}}\right)=\lambda \left(y+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)=\lambda M(x,\,y)$ 
 $N(x,\,y)=-x$ 
 $N(\lambda x,\,\lambda y)=-\lambda x=\lambda N(x,\,y)$ 

Обе функции однородные первой степени однородности. Вводим новую переменную  $u={\frac {y}{x}},\;y=ux,\;dy=u\,dx+x\,du$  

 $\left(ux+{\sqrt {x^{2}+(ux)^{2}}}\right)\,dx-x(u\,dx+x\,du)={\sqrt {x^{2}(1+u^{2})}}-x^{2}\,du=|x|{\sqrt {1+u^{2}}}\,dx-|x|^{2}\,du=0$ 

Разделяем переменные:  ${\frac {dx}{|x|}}={\frac {du}{\sqrt {1+u^{2}}}}$ .
*  $x>0$ 
 $\int {\frac {dx}{|x|}}=\int {\frac {du}{\sqrt {1+u^{2}}}},\;\ln |x|+\ln C=\ln \left|u+{\sqrt {1+u^{2}}}\right|,\;Cx=u+{\sqrt {1+u^{2}}}$ , но  $u={\frac {y}{x}}$ , поэтому
 $Cx={\frac {y}{x}}+{\sqrt {1+{\frac {y^{2}}{x^{2}}}}},\;y={\frac {Cx^{2}}{2}}-{\frac {1}{2C}}$ .
*  $x<0$ 
 $-\int {\frac {dx}{|x|}}=\int {\frac {du}{\sqrt {1+u^{2}}}},\;-\ln |x|+\ln C=\ln \left|u+{\sqrt {1+u^{2}}}\right|,\;-{\frac {C}{x}}=u+{\sqrt {1+u^{2}}}$ , 
 $-{\frac {C}{x}}={\frac {y}{x}}+{\sqrt {1+{\frac {y^{2}}{x^{2}}}}},\;y={\frac {x^{2}}{2C}}-{\frac {C}{2}}$  
*  $x=0$ 
 $(y+{\sqrt {0^{2}+y^{2}}})\cdot 0-0\cdot dy\equiv 0$

Примечания править

↑ Однородными функциями нескольких переменных называются функции $f(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n})$ , удовлетворяющие условию $f(\lambda x_{1},\,\lambda x_{2},\,\ldots ,\,\lambda x_{n})=\lambda ^{m}f(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n})$ , где $\lambda$ – произвольное число, $m$ называется степенью однородности.
↑ $f(\lambda x,\,\lambda y)={\frac {M(\lambda x,\,\lambda y)}{N(\lambda x,\,\lambda y)}}={\frac {\lambda ^{m}M(x,\,y)}{\lambda ^{m}N(x,\,y)}}={\frac {M(x,\,y)}{N(x,\,y)}}=f(x,\,y)=\lambda ^{0}f(x,\,y)$

[1] Однородными функциями нескольких переменных называются функции $f(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n})$ , удовлетворяющие условию $f(\lambda x_{1},\,\lambda x_{2},\,\ldots ,\,\lambda x_{n})=\lambda ^{m}f(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n})$ , где $\lambda$ – произвольное число, $m$ называется степенью однородности.

[2] $f(\lambda x,\,\lambda y)={\frac {M(\lambda x,\,\lambda y)}{N(\lambda x,\,\lambda y)}}={\frac {\lambda ^{m}M(x,\,y)}{\lambda ^{m}N(x,\,y)}}={\frac {M(x,\,y)}{N(x,\,y)}}=f(x,\,y)=\lambda ^{0}f(x,\,y)$

[1]

[2]