Участник:SVDer/Черновики/ОДУ/Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка/Разделение переменных

Разделенные переменные

Если дифференциальное уравнение имеет вид

$P(x)\,dx+Q(y)\,dy=0$(1)

то говорят, что переменные разделены. Общий интеграл такого уравнения, очевидно,

$\int P(x)\,dx+\int Q(y)\,dy=C,$(2)

где $C$ – постоянная.

Для нахождения частного интеграла при известных начальных условиях можно подставить их в уравнение (2) и найти соответствующее значение произвольной постоянной. Если общее решение не нужно, то частное решение проще находить непосредственно:

$\int \limits _{x_{0}}^{x}P(x)\,dx+\int \limits _{y_{0}}^{y}Q(y)\,dy=0,$

здесь $x$ и $y$ — начальные условия.

Пример

Найти общий интеграл уравнения $\sin x\,dx+{\frac {dy}{\sqrt {y}}}=0$ и частное решение при начальных условиях $x_{0}={\frac {\pi }{2}},y_{0}=3$.

Общий интеграл: $\int \sin x\,dx+\int {\frac {dy}{\sqrt {y}}}=C$ или $-\cos x+2{\sqrt {y}}=C$.

Подставляя начальные условия, получаем $C=-\cos {\frac {\pi }{2}}+2{\sqrt {3}}=2{\sqrt {3}}$, соответствующий частный интеграл: $-\cos x+2{\sqrt {y}}=2{\sqrt {3}}$, откуда искомое частное решение $y={\frac {1}{4}}(2{\sqrt {3}}+\cos x)^{2}$. Также это решение можно прямо получить из формулы $\int \limits _{\pi /2}^{x}\sin x\,dx+\int \limits _{3}^{y}{\frac {dy}{\sqrt {y}}}=0$.

Разделяющиеся переменные

В уравнении вида $M(x)N(y)\,dx+R(x)S(y)\,dy=0$ можно разделить переменные делением на произведение $N(y)R(x)$. Заменив ${\frac {M(x)}{R(x)}}=P(x)$ и ${\frac {S(y)}{N(y)}}=Q(y)$, получим уравнение (1). Если уравнение задано в виде $y'=f(x)g(y)$, то его можно преобразовать следующим образом: $y'={\frac {dy}{dx}}=f(x)g(y)\Rightarrow {\frac {dy}{g(y)}}=f(x)\,dx$.

При этом возможна потеря некоторых интегралов. Пусть значение $y=k$ служит корнем уравнения $N(y)=0$. Тогда функция $y=k$ является одним из решений исходного уравнения. Это решение исключается, так как во время деления на $N(y)R(x)$ предполагается, что сомножители не равны 0. Аналогично исключается решение $x=l$, где $l$ — корень уравнения $R(x)=0$. В ряде частных случаев при преобразовании общего интеграла к общему решению удаётся включить потерянные решения.

Примеры

1. Рассмотрим уравнение $y\,dx-x\,dy=0$. Разделив на $xy$, получим уравнение с разделенными переменными ${\frac {dx}{x}}-{\frac {dy}{y}}$. Интегрируя, находим $\int {\frac {dx}{x}}-\int {\frac {dy}{y}}=C_{1}$, то есть $\ln |x|-\ln |y|=C_{1}$ или $\ln \left|{\frac {x}{y}}\right|=C_{1}$. Вводя новую постоянную $C=e^{C_{1}}$, можно написать $x=Cy$. Была возможна потеря решений $x=0$ и $y=0$, (они не вхо-дят в общий интеграл, так как $\ln 0=\infty$), но в результате экспоненцирования и умножения на $y$ потерянные частные решения вернулись.
2. Решить уравнение ${\sqrt {1-y^{2}}}\,dx-y\,dy=0$. Разделив на ${\sqrt {1-y^{2}}}$, получим уравнение $dx-{\frac {y\,dy}{\sqrt {1-y^{2}}}}=0$, в котором переменные разделены. Интегрируя, находим $x-{\sqrt {1-y^{2}}}=C$ или $(x-C)^{2}+y^{2}=1$. Но в общем интеграле не содержатся решения $y=1$ и $y=-1$, которые были потеряны после деления на ${\sqrt {1-y^{2}}}$.