Участник:SVDer/Черновики/ОДУ/Введение

Основные понятия

Дифференциальное уравнение — уравнение, содержащее независимые переменные, неизвестные функции и их производные (или дифференциалы). В отличие от алгебраических уравнений, где искомый результат — число (числа), результат решения дифференциальных уравнений — функция (функции).

Если неизвестные функции зависят от одной переменной, то такое уравнение называется обыкновенным; если от нескольких — дифференциальным уравнением с частными производными (в частных производных).

Порядок дифференциального уравнения – порядок наивысшей из производных, входящих в данное уравнение.

Пример

$y'={\frac {y^{2}}{x}}$ – уравнение первого порядка;

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}^{2}-xy^{5}{\frac {dy}{dx}}+\sin y=0$ – уравнение второго порядка;

$y'^{2}=x^{3}$ – уравнение первого порядка.

Функция $y=\varphi (x)$ называется решением дифференциального уравнения, если последнее обращается в тождество после подстановки данной функции. В случае нескольких неизвестных функций решением будет называться система функций, обращающая уравнение в тождество.

Интеграл дифференциального уравнения – одно или несколько уравнений, связывающих неизвестные функции и независимые переменные, такие, что данное дифференциальное уравнение обращается в тождество при подстановке в него неизвестных функций и их производных, выраженных из этих уравнений. Решение – частный случай интеграла, когда неизвестные функции явно выражаются через независимые переменные. Процесс нахождения интегралов дифференциального уравнения называется интегрированием. В математическом анализе интегрированием называется нахождение функции по известной производной. Для избежания неточностей в теории дифференциальных уравнений эту операцию принято называть квадратурой.

Пример

Функция $y=\sin x$ является интегралом дифференциального уравнения $y''+y=0$. При подстановке получаем: $(\sin x)''+\sin x=-\sin x+\sin x=0$ — уравнение обратилось в тождество. В данном случае интеграл явно выражает неизвестную функцию через независимую переменную ($y$ через $x$), то есть этот интеграл называется решением. Если записать этот интеграл в виде $y-\sin x=0$, то он уже не будет называться решением.

Интегралы дифференциальных уравнений могут содержать постоянные величины или функции, которые можно выбрать произвольно, они называются произвольными постоянными и функциями.

Пример

Для предыдущего дифференциального уравнения интегралом также будут являться функции $y=\sin(x+1),y=2\sin(x-5)$, вообще $y=C\sin(x+\varphi )$, где $C$ и $\varphi$ – произвольные постоянные.

Таким образом, интеграл дифференциального уравнения может определяться неоднозначно. Для однозначного определения на неизвестные функции накладываются дополнительные условия, заключающиеся в том, что они и некоторые их производные должны принимать определенные значения при определенных значениях независимых переменных. Если эти условия заданы для нулевых значений переменных, то такие условия называются начальными, иначе — граничными.

Интеграл дифференциального уравнения называется общим, если из него можно получить интеграл, соответствующий любым, наперед заданным, начальным или граничным условиям. Интеграл, соответствующий конкретным условиям, называется частным.

Дифференциальные уравнения могут иметь особые интегралы, которые не могут быть получены из общего никакими подборами произвольных постоянных.

Пример

Для рассматриваемого уравнения интеграл $y=C\sin(x+\varphi )$ является общим, так как из него можно получить интеграл, соответствующий любым условиям. Для условий $y(0)=0,y'(0)=2$ (начальные условия — для нулевых значений переменной) получаем частное решение $y=2\sin x$, а для условий $y(0)=0,y(\pi /2)=1$ (граничные условия — одно из значений функции задано для ненулевого значения переменой) — $y=\sin x$. Тогда как интеграл $y=\sin(x+\varphi )$ не является общим, так как он не позволяет определить решение, соответствующее начальным условиям $y(0)=0,y'(0)=2$.