Интегральное исчисление/Методы интегрирования: различия между версиями

Содержимое удалено Содержимое добавлено
м исправление описок
Строка 57:
{{Формула|<math>20\int\frac{dt}{t^2-1}=\frac{20}{2\cdot 1}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C=10\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C.</math>|5.18}}
Второе слагаемое можно вычислить методом разбиения на простые дроби (ему будет посвящена отдельная глава), но мы здесь пойдём другим путём и преобразуем этот интеграл к виду:
{{Формула|<math>20\int\frac{dt}{(t^2-1)^2}=-20\int\frac{t^2-1-t^2}{(t^2-1)^2}\,dt=-20\int\frac{dt}{t^2-1}+20\int\frac{t^2\,dt}{(t^2-1)^2}.</math>|5.19}}
Первый интеграл нам уже известен (только с противоположным знаком):
{{Формула|<math>-20\int\frac{dt}{t^2-1}=-10\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C,</math>|5.20}}
Строка 188:
{{Формула|<math>\int uv^{(n+1)}\,dx=uv^{(n)}-u'v^{(n-1)}+u''v^{(n-2)}-\ldots+(-1)^nu^{(n)}v+(-1)^{n+1}\int u^{(n+1)}v\,dx.</math>|5.57}}
{{Доказательство|формулы (5.57)|Возьмём основную формулу интегрирования по частям (4.42) и заменим в ней <math>v</math> на производную <math>n</math>-го порядка <math>v^{(n)}</math>:
{{Формула|<math>\int u\,dvuv^{(n+1)}\,dx=\int uvu\,dv^{(n+1)}\,dx=uv^{(n)}-\int v^{(n)}\,du=uv^{(n)}-\int u'v^{(n)}\,dx.</math>|5.58}}
Аналогично поступим также для всех производных <math>v</math> меньшего порядка:
{{Формула|<math>\begin{array}{l}\displaystyle{\int uvu'v^{(n)}\,dx=u'v^{(n-1)}-\int u''v^{(n-1)}\,dx,} \\ \displaystyle{\int u''v^{(n-1)}\,dx=u''v^{(n-2)}-\int u'''v^{(n-2)}\,dx,} \\ \displaystyle{\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots} \\ \displaystyle{\int u^{(n)}v'\,dx=u^{(n)}v-\int u^{(n-1)}v\,dx.} \end{array}</math>|5.59}}
Умножая эти равенства поочередно на +1 или на -1, а потом складывая их почленно, после уничтожении одинаковых интегралов в правой и левой частях мы получим формулу (5.57).}}