Решение систем гиперболических уравнений/Разностные схемы: различия между версиями

Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки
Нет описания правки
Строка 3:
<math>U_t+\lambda U_x=0</math>
 
Для него известно аналитическое решение (<math>U(x,t)=U_0(x-\lambda t)</math>,<math>U_0(x)</math> - произвольная фнкция), что позволяет сравнивать качество тех или иных методов, разработанных для (вообще говоря) нелинейных систем уравнений.
 
Для построения простейшей разностной схемы (т.н. схемы "уголок") воспользуемся простейшим шаблоном:
 
<math>\begin{matrix}
& & U_{m}^{n+1} \\
& & \bullet \\
& & | \\
\bullet&-&\bullet \\
U_{m-1}^n& & U_m^n
\end{matrix}
</math>
 
В соответствии с этим шаблоном аппроксимируем наше уравнение. Получим:
 
<math>\frac{U_m^{n+1}-U_m^n}{\tau}+\lambda \frac{U_m^n-U_{m-1}^n}{h}=0</math>
 
или
 
<math>U_m^{n+1}=U_m^n(1-\lambda\frac{\tau}{h})+U_{m-1}^n\lambda\frac{\tau}{h}</math>
 
Если реализовать эту схему для простейшего уравнения и поэкспериментировать, окажется, что при <math>1>\lambda\frac{\tau}{h}>0</math> эта схема относительно неплохо работает и, судя по всему, обладает сходимостью к аналитическому решению при <math>h \rightarrow 0</math>