Использование аналитической геометрии в задаче C2 ЕГЭ по математике: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Kowu (обсуждение | вклад) |
Kowu (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
||
Строка 5:
''Аналитическая геометрия'': Вводят декартовую систему координат <math>Oxyz</math>, находят направляющие вектора двух прямых <math>\vec{s_1} (a,b,c)</math> и <math>\vec{s_2} (d,e,f)</math> (направляющим вектором прямой называется вектор, коллинеарный данной прямой) и вектор, соединяющий любую точку первой прямой с любой точкой второй прямой <math>\vec {m}(g,h,l)</math>, где <math>a,b,c,d,e,f,g,h,l \in \mathbb R</math>. Расстояние между скрещивающимися прямыми находят по формуле:
<math>d=\frac{\left| \left( \vec {m}, \vec {s_1}, \vec {s_2} \right) \right|} {\left| \left[ \vec {s_1}, \vec {s_2} \right] \right| }</math>, где <math>\left| \left( \vec {m}, \vec {s_1}, \vec {s_2} \right) \right|</math>
<math>\begin{vmatrix} g & h &l \\ a & b & c \\ d & e & f \end{vmatrix} = gbf + chd + ale - dbl - ahf - gec</math>,
а <math>\left| \left[ \vec {s_1}, \vec {s_2} \right] \right| </math>
<math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec {k} \\ a & b & c \\ d & e & f \end{vmatrix} = bf\vec{i}+cd\vec{j}+ae\vec{k} - db\vec{k}- af\vec{j}-ce\vec{i} = (bf-ce,cd-af,ae-db)</math>, а сам модуль равен <math> \left| \left[ \vec {s_1}, \vec {s_2} \right] \right| = \sqrt{(bf-ce)^2+(cd-af)^2+(ae-db)^2}</math>
Строка 15:
=== Пример ===
В кубе <math>ABCDA_1B_1C_1D_1</math> найти расстояние между прямыми <math>A_1D</math> и <math>CC_1</math>, если ребро куба равно 1.
==== Решение
Найдём плоскость, перпендикулярную прямой <math>CC_1</math>. Это будет плоскость <math>(ABC)</math>. Проекцией прямой <math>A_1D</math> на плоскость <math>(ABC)</math> является прямая <math>AD</math>. Из точки С, как точки пересечения прямой <math>CC_1</math> и плоскости <math>ABC</math> опустим перпендикуляр на прямую AD, этим перпендиккуляром является прямая <math>CD</math>, длина которой равна 1. Откуда расстояние между данными прямыми равно 1.
Строка 23 ⟶ 24 :
Введём в точке A декартовую систему координат так, что <math>\overrightarrow{AB}=\vec{i},\overrightarrow{AD}=\vec{j},\overrightarrow{AA_1}=\vec{k}</math>, тогда координаты интересующих нас точек равны <math>~A_1(0;0;1),D(0;1;0),C(1;1;0),C_1(1,1,1)</math>, а нужные нам вектора имеют координаты <math>\vec{m}=\overrightarrow{DC}(1;0;0),\vec{s_1}=\overrightarrow{CC_1}(0;0;1),\vec{s_2}=\overrightarrow{A_1D}(0;1;-1)</math>.
Смешанное произведение трёх векторов равно <math> \left( \vec {m}, \vec {s_1}, \vec {s_2} \right) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -1</math>, а его модуль, соответственно, равен 1.
Векторное произведение направляющих векторов равно <math>\left[ \vec {s_1}, \vec {s_2} \right] = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec {k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -\vec{i}=(-1;0;0)</math>, а его модуль тогда равен <math>\sqrt{(-1)^2+0^2+0^2}=1</math>, и расстояние между прямыми равно <math>d = \frac{1} {1} = 1</math>.
Ответ: 1.
== Угол между двумя плоскостями ==
''Обычная геометрия'': Пусть плоскости пересекаются. Проведём плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым, угол между которыми и является искомым.
''Аналитическая геометрия'': Вводят декартовую систему координат <math>Oxyz</math>, находят координаты трёх точек каждой плоскости, находят нормальные вектора <math>\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}</math> к каждой плоскости, и находят угол между ними. Зная координаты точек <math>A(s,t,u),B(m,n,o),C(p,q,r)</math> находят уравнение плоскости согласно уравнению
<math>\begin{vmatrix} x-s & y-t & z-u \\ m-s & n-t & o-u \\ p-s & q-t & r-u \end{vmatrix} = 0</math> и упрощают его. Коэффициенты при x, y и z и будут координатами вектора нормали к плоскости. Угол между нормальными векторами находится по формуле <math>\cos \varphi = \frac {(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2})} {\left |\overrightarrow{n_1} \right | \cdot \left | \overrightarrow {n_2} \right |}</math>, где в числителе стоит скалярное произведение векторов.
=== Пример ===
В кубе <math>ABCDA_1B_1C_1D_1</math> найти угол между плоскостями <math>ACC_1</math> и <math>BB_1D_1</math>, если ребро куба равно <math>a</math>.
=== Решение методом обычной геометрии ===
1. <math>BB_1D_1 \cap ACC_1 = OO_1</math>, где <math>O = B_1D_1 \cap A_1C_1, O_1 = BD \cap AC</math>
2. <math>OO_1 \perp ABC, ABC \cap ACC_1 = AC, ABC \cap BB_1D_1 = BD</math>
3. <math>\angle(AC,BD) = 90^{\circ }</math> (как угол между диагоналями квадрата, <math>ABCD</math> — квадрат, как одно из оснований куба.
Ответ: <math>900^{\circ }</math>
=== Решение методом аналитической геометрии ==
Введём декартовую систему координат Oxyz так, что <math>\overrightarrow{AB}(a;0;0), \overrightarrow{AD} (0;a;0), \overrightarrow{AA_1} (0;0;a)</math>, тогда координаты интересующих нас точек равны <math>~A(0;0;0), A_1(0;0;a),C(a;a;0),B(a;0;0), B_1(a;0;a),D(0;a;0)</math>. Уравнение плоскости <math>ACC_1</math>:
<math>\begin{vmatrix} x & y & z \\ 0 & 0 & a \\ a & a & 0 \end{vmatrix} = 0 \Leftrightarrow a^2y-a^2x=0 \Rightarrow \overrightarrow{n_1}(-a^2;a^2;0)</math>
Уравнение плоскости <math>BB_1D_1</math>:
<math>\begin{vmatrix} x-a & y & z \\ 0 & 0 & a \\ -a & a & 0 \end{vmatrix} = 0 \Leftrightarrow -a^2y-a^2(x-a)=0 \Leftrightarrow -a^2x-a^2y+a^3=0 \Rightarrow \overrightarrow{n_2} (-a^2;-a^2;0)</math>
<math>\left (\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2} \right ) = -a^2\cdot (-a^2) - a^2\cdot a^2 = 0</math>. Так как скалярное произведение векторов равно 0, то угол между ними и, соответственно, искомый равен <math>90^{\circ }</math>
Ответ: <math>90^{circ}</math>
| |||