Теория музыки для математиков/Музыкальный звукоряд - свойства: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
мНет описания правки |
changed 1 link, added line breaks |
||
Строка 3:
Мы видели, что можно построить музыкальный звукоряд различными способами. В дальнейшем мы будем пользоваться темперированным рядом. Однако бОльшая часть определений и свойств переносимы на любой звукоряд, иногда надо учитывать погрешности определения отдельных ступеней.
Итак, наш звукоряд содержит 12 ступеней, которые мы пронумеруем от 0 до 11. Для звуков из других октав можно поступить двояко. Можно применять тот же номер ступени с указанием октавы (см. [[Теория музыки для математиков: Наименования октав|Приложение X – наименования октав]]). А можно нумеровать звуки последовательно и дальше – 13, 14, 15,
Причислим к одному классу эквивалентности звуки, номера которых дают один и тот же остаток при делении на 12 (математически – номера звуков являются вычетами друг друга по модулю 12). Тогда в один класс вычетов попадут звуки, переходящие один в другой октавным переносом. Будем обозначать такие классы как [k], где k – номер звука любого представителя класса и называть супертоном. Очевидно, что [k] = [k + 12i], где i – целое число. Исходя из этого равенства, будем обычно использовать числа от 0 до 11 для обзначения классов: [0]...[11] (т.е. использовать систему наименьших положительных вычетов). Множество всех классов вычетов по модулю 12, <math>T = Z12 = {[0], [1], ..., [12]}</math>, назовем тональным множеством.
Отношения сравнения на тональном множестве заданы как обычные отношения на множестве целых чисел при том, что в качестве представителя каждого супертона мы выбираем наименьший положительный вычет. Расстоянием между [x] и [y] является (y-x) mod 12.▼
В темперированном звукоряде можно по номеру звука непосредственно вычислить его частоту: h0*2k/12, где k – номер звука, а h0 – частота базового звука. ▼
▲Отношения сравнения на тональном множестве заданы как обычные отношения на множестве целых чисел при том, что в качестве представителя каждого супертона мы выбираем наименьший положительный вычет. Расстоянием между [x] и [y] является <math>(y-x) mod 12</math>.
▲В темперированном звукоряде можно по номеру звука непосредственно вычислить его частоту:
Расстояние между двумя соседними ступенями звукоряда называется полутоном. В темперированном ряду полутон между любыми двумя ступенями действительно принимает одно и то же значение - <math>\frac{21
▲Расстояние между двумя соседними ступенями звукоряда называется полутоном. В темперированном ряду полутон между любыми двумя ступенями действительно принимает одно и то же значение - 21/12 = 1,059463. В других рядах значение полутона колеблется. Однако внутри выбранного звукового ряда этим можно пренебречь и использовать полутон как самостоятельную единицу измерения (считать в полутонах). Интервал в два полутона называется целым тоном. В темперированном ряду тон это (21/12)2 = 1,122462.
Теперь мы можем измерять расстояния между ступенями звукоряда не только абсолютно, как соотношение частот, но и в полутонах (или в тонах). Например, расстояние между 2 и 9 ступенью звукоряда равно 7 полутонам. В темперированном ряду это в точности темперированная квинта (29/12 : 22/12 = 27/12).
| |||