Теория функций действительного переменного/Мера множеств, измеримые функции: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Galushin (обсуждение | вклад) |
Galushin (обсуждение | вклад) →Сходимость по мере: док-во |
||
Строка 528:
Говорят, что последовательность измеримых функций <math>\left \{ f_n(x) \right \}</math> '''сходится по мере''' к функции <math>f(x)</math>, если для любого <math>\epsilon > 0</math>
: <math>\lim_{n \rightarrow \infty} \mu \{ x : \left | f_n(x) - f(x) \right |
Предполагается, что рассматриваемая мера является конечной.
'''Теорема 2.7.''' Если последовательность измеримых функций <math>\left \{ f_n(x) \right \}</math> сходится почти всюду к некоторой функции <math>f(x)</math>, то эта последовательность сходится к <math>f(x)</math> по мере.
'''Доказательство.''' Из теоремы 2.4а следует, что функция <math>f(x)</math> является измеримой.
Рассмотрим множество точек, в которых последовательность <math>\left \{ f_n(x) \right \}</math> не сходится к функции <math>f(x)</math>:
: <math>C = \{ x : \lim_{n \to \infty} f_n(x) \neq f(x) \}</math>,
по условию теоремы
: <math>\mu(C) = 0</math>.
Введём следующие обозначения:
: <math>A_k(\epsilon) = \{ x : | f_k(x) - f(x)| \ge \epsilon \} </math>,
: <math>B_n(\epsilon) = \bigcup_{k=n}^{\infty} A_k(\epsilon)</math>,
: <math>B(\epsilon) = \bigcap_{n=1}^{\infty}B_n(\epsilon)</math>.
По определению
: <math>B_1 \supset B_2 \supset ... \supset B_n \supset ...</math>,
следовательно, в силу непрерывности меры, имеет место равенство
: <math>\lim_{n \to \infty} \mu(B_n(\epsilon)) = \mu(B(\epsilon))</math>.
Если <math>x_0 \notin C</math>, то есть
: <math>\lim_{n \to \infty} f_n(x_0) = f(x_0)</math>,
то для любого вещественного числа <math>\epsilon > 0</math> существует такой номер <math>n_0(\epsilon)</math>, что при <math>k > n_0(\epsilon)</math> выполняется неравенство
: <math>| f_k(x) - f(x)| < \epsilon </math>,
то есть
: <math>x_0 \notin B_n(\epsilon)</math>,
а следовательно, по свойству пересечения множеств:
: <math>x_0 \notin B(\epsilon)</math>.
Таким образом
: <math>B(\epsilon) \subset C</math>,
откуда следует, что
: <math>\mu(B(\epsilon)) = 0</math>
и в силу непрерывности нормы
: <math>\lim_{n \to \infty} \mu(B_n(\epsilon)) = 0</math>,
а так как
: <math>A_n (\epsilon) \subset B_n(\epsilon)</math>,
то
: <math>\lim_{n \to \infty} \mu(A_n(\epsilon)) = 0</math>,
теорема доказана.
Обратное утверждение, вообще говоря, не выполняется, можно указать последовательность, сходящуюся по мере, но не сходящуюся почти всюду.
Тем не менее, можно доказать доказать более слабое утверждение:
'''Теорема 2.8.''' Если последовательность измеримых функций <math>\left \{ f_n(x) \right \}</math> сходится по мере к некоторой функции <math>f(x)</math>, то из этой последовательности можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к <math>f(x)</math> почти всюду.
| |||