Теория функций действительного переменного/Мера множеств, измеримые функции: различия между версиями

Содержимое удалено Содержимое добавлено
→‎Случай полукольца с единицей: непрерывность меры, док-во т8
Строка 269:
 
'''Теорема 8.''' На системе <math>\mathfrak{M}</math> измеримых множеств функция <math>\mu</math> является σ-аддитивной.
 
'''Доказательство.'''
Пусть даны множества
: <math>A_1,..., A_n... \in \mathfrak{M}</math>,
причём
: <math>n \neq m \Rightarrow A_n \cap A_m = \varnothing</math>
и
: <math>A = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n</math>.
 
По теореме 5:
: <math> \mu(A) \le \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n)</math>,
а по по теореме 7 для любого натурального числа <math>N</math>:
: <math>\mu(A) \ge \mu \left( \bigcup_{n=1}^{N} \right) = \sum_{n=1}^{N} \mu(A_n) </math>,
откуда следует, что
: <math>\mu(A) \ge \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n) </math>.
Таким образом
: <math>\sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n) \le \mu(A) \le \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n) </math>,
теорема доказана.
 
'''Теорема 9.''' Система <math>\mathfrak{M}</math> измеримых по Лебегу множеств является σ-алгеброй с единицей <math>E</math>.
 
Из σ-аддитивности меры Лебега следует её непрерывность.
 
'''Теорема 10.'''
То есть если <math>\mu</math> — σ-аддитивная мера, определённая на σ-алгебре множеств, и дана последовательность вложенных друг в друга множеств вида
: <math>A_1 \supset A_2 \supset ... \supset A_n \supset ...</math>,
то
: <math>\mu \left( \bigcap_{n=1}^{n} A_n \right) = \lim_{n \to \infty} \mu(A_n)</math>.
 
'''Доказательство.'''
Введём следующее обозначение:
: <math>A = \bigcap_{n=1}^{n} A_n</math>.
Не ограничивая общности, можно считать, что <math>A = \varnothing</math>, так как в противном случае можно рассмотреть последовательность множеств
: <math>B_n = A_n \setminus A</math>.
 
Для любого номера <math>n</math> множество <math>A_n</math> можно представить в виде счётного объединения непересекающихся множеств:
: <math>A_n = \bigcup_{m=n}^{\infty} \left( A_{m} \setminus A_{m+1} \right)</math>.
В силу σ-аддитивности меры
: <math>\mu \left( A_n \right) = \sum_{m=n}^{\infty} \mu \left( A_{m} \setminus A_{m+1} \right)</math>.
 
В частности, при <math>n=1</math>:
: <math>\mu \left( A_1 \right) = \sum_{m=1}^{\infty} \mu \left( A_{m} \setminus A_{m+1} \right)</math>.
 
Отсюда видно, что <math>\mu(A_n)</math> - это остаток ряда <math>\mu(A_1)</math>, а так как ряд сходится, то
: <math>\lim_{n \to \infty} \mu(A_n) = 0 = \mu(\varnothing)</math>,
что и требовалось доказать.
 
'''Следствие.'''
Если дана последовательность вложенных множеств вида
: <math>A_1 \subset A_2 \subset ... \subset A_n \subset ...</math>
и
: <math>A = \bigcup_{n=1}^{n} A_n </math>,
то имеет место равенство
: <math>\mu \left( A \right) = \lim_{n \to \infty} \mu(A_n)</math>.
 
Для доказательства нужно применить теорему 10 к последовательности множеств
: <math>\{ A \setminus A_n \}</math>.
 
Функция <math>\mu</math>, определённая на системе измеримых множеств <math>\mathfrak{M}</math> и совпадающая на ней с внешней мерой <math>\mu^*</math>, называется Лебеговым продолжением меры <math>m</math> и обозначается