Теория функций действительного переменного/Мера множеств, измеримые функции: различия между версиями

Содержимое удалено Содержимое добавлено
дополнение
→‎Теорема Егорова: доказательство
Строка 434:
'''Теорема 2.6 (Егоров).''' Пусть <math>X</math> — множество конечной меры, а последовательность измеримых функций <math>\left \{ f_n(x) \right \}</math> сходится на <math>X</math> почти всюду к функции <math>f(x)</math>. Тогда для любого вещественного числа <math>\delta > 0</math> существует такое измеримое множество <math>X_{\delta} \subset X</math>, что
: <math>\mu(X_{\delta}) > \mu(X) - \delta</math>,
и на множестве <math>X_{\delta}</math> последовательность <math>\left \{ f_n(x) \right \}</math> сходится к функции <math>f(x)</math> равномерно.
 
'''Доказательство.'''
 
Функция <math>f(x)</math> является измеримой по теореме 2.4а.
 
Положим
: <math>A^m_n = \bigcap_{k=n}^{\infty} \left \{ x : |f_k(x) - f(x)| < \frac{1}{m} \right \}</math>,
из данного определения ясно, что при заданном <math>m</math> выполняются включения
: <math>A^m_1 \subset A^m_2 \subset ... \subset A^m_n \subset ...</math>.
Положим также
: <math>B_m = \bigcup_{n=1}^{\infty} A^m_n</math>.
 
Так как σ-аддитивная мера является непрерывной, то для любого номера <math>m</math> и любого вещественного числа <math>\delta > 0</math> найдётся такой номер <math>N(m)</math>, что
: <math>\mu(B_n \setminus A^m_{N(m)}) < \frac{\delta}{2^m}</math>.
 
Докажем, что множество
: <math>X_\delta = \bigcap_{m=1}^{\infty}A^m_{N(m)}</math>
удовлетворяют условиям теоремы.
 
Если <math>x \in X_\delta</math>, то для любого <math>m</math> при <math>k > N(m)</math> выполняется неравенство
: <math>|f_k(x) - f(x)| < \frac{1}{m}</math>,
а следовательно последовательность <math>\{ f_n(x) \}</math> сходится на <math>X_\delta</math> к <math>f(x)</math> равномерно.
 
Далее, если <math>x \in X \setminus X_\delta</math>, то можно указать сколь угодно большое целое число <math>k</math> для которого
: <math>|f_k(x) - f(x)| \ge \frac{1}{m}</math>,
а значит последовательность <math>\{ f_n(x) \}</math> не сходится к <math>f</math> на множестве <math>X \setminus X_\delta</math>, а так как по условию теоремы сходимость имеет место почти всюду, то
: <math>\mu \left( X \setminus B_m \right) = 0</math>.
Таким образом:
: <math>\mu \left( X \setminus A^m_{N(m)} \right) = \mu \left( X \ B_m \right) + \mu \left( B_m \setminus A^m_{N(m)} \right) < \frac{\delta}{2^m} </math>.
 
Окончательно имеем
: <math>\mu \left( X \setminus X_\delta \right) = \mu \left( X \setminus \bigcap_{m=1}^{\infty}A^m_{N(m)} \right) \le \mu \left( \bigcup_{m=1}^{\infty} \left[ X \setminus A^m_{N(m)} \right] \right) < \sum_{m=1}^{\infty} \frac{\delta}{2^m} = \delta </math>.
 
Теорема доказана.
 
=== Сходимость по мере ===