Теория функций действительного переменного/Системы множеств: различия между версиями

По [[w:Математическая индукция|индукции]] можно доказать, что кольцу множеств будет принадлежать объединение или пересечение любого конечного числа множеств данного кольца, то есть выражения вида

: <math>~\bigcup_{i=1}^{n} A_i</math>,

: <math>\bigcap_{i=1}^{n} A_i</math>.

 

Пусть <math>A \in \mathfrak{S}</math> и <math>B \in \mathfrak{S}</math> два множества, принадлежащих системе <math>\mathfrak{S}</math>, тогда, по определению пересечения множеств, имеют места следующие включения

: <math>A \in \mathfrak{S}_1</math>,

: <math>A \in \mathfrak{S}_2</math>,

: <math>B \in \mathfrak{S}_1</math>,

: <math>B \in \mathfrak{S}_2</math>.

 

Так как множества <math>A \cap B</math> и <math>A \vartriangle B</math> принадлежат и множеству <math>\mathfrak{S}_1</math>, и <math>\mathfrak{S}_2</math>, то они принадлежит, по определению, пересечению этих множеств:

: <math>A \cap B \in \mathfrak{S}_1 \cap \mathfrak{S}_2 \in \mathfrak{S}</math>.

 

Отсюда следует, что пересечение <math>\mathfrak{S} = \mathfrak{S}_1 \cap \mathfrak{S}_2</math> двух колец множеств является, по определению, кольцом множеств.