Теория функций действительного переменного/Мера множеств, измеримые функции: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Galushin (обсуждение | вклад) дополнение |
Galushin (обсуждение | вклад) оформление, ошибки в формулах, дополнение |
||
Строка 17:
: <math>A = A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n</math>
имеет место равенство
: <math>
Мера пустого множества равна нулю, это следует из равенства
Строка 48:
Для каждого множества <math>A \in \mathfrak{S}_m</math> существует конечное разложение
: <math>A = \
на непересекающиеся множества <math>A_k \in \mathfrak{S}_m</math>.
Строка 134:
: <math>k \neq j \Rightarrow B_k \cap B_j = \varnothing</math>.
Существуют представления
: <math>A = \bigcup_{j=1}^{
: <math>B_k = \bigcup_{t=1}^{r_k} B_{kt},~B_{kt} \in \mathfrak{S}_m</math>,
Строка 147:
: <math>A_j = \bigcup_{k=1}^{\infty} \bigcup_{t=1}^{r_k} C_{jkt}</math>,
: <math>B_{kt} = \bigcup_{j=1}^{
Так как мера <math>m</math>, по условию теоремы, является σ-аддитивной на <math>\mathfrak{S}_m</math>, то
Строка 155:
А в силу теоремы 1:
: <math>\mu(A) = \sum_{j=1}^{
: <math>\mu(B_k) = \sum_{t=1}^{r_k} m(B_{kt})</math>.
Таким образом
: <math>\mu(A) = \sum_{j=1}^{
Теорема доказана.
Строка 172:
то выполняется неравенство
: <math>\sum_{k=1}^{\infty} m(A_k) \le m(A)</math>.
'''Доказательство.'''
Строка 254 ⟶ 253 :
: <math>B = B_1 \setminus B_2 \in \mathfrak{R}(\mathfrak{S}_m)</math>
и выполняется соотношение
: <math>A \vartriangle B = (A_1 \setminus A_2) \vartriangle (B_1 \setminus B_2) \subset (A_1 \vartriangle B_1) \
то
: <math>\mu^*(A \vartriangle B) \le \mu^*(A_1 \vartriangle B_1) + \mu^*(A_2 \vartriangle B_2) < \epsilon</math>.
Строка 262 ⟶ 261 :
'''Следствие.''' Так как <math>E</math> - это единица кольца <math>\mathfrak{M}</math>, то <math>\mathfrak{M}</math> - алгебра множеств.
'''Теорема 7.''' На системе <math>\mathfrak{M}</math> измеримых множеств функция <math>\mu</math> является аддитивной.
'''Теорема 8.''' На системе <math>\mathfrak{M}</math> измеримых множеств функция <math>\mu</math> является σ-аддитивной.
'''Теорема 9.''' Система <math>\mathfrak{M}</math> измеримых множеств является σ-алгеброй с единицей <math>E</math>.
Функция <math>\mu</math>, определённая на системе измеримых множеств <math>\mathfrak{M}</math> и совпадающая на ней с внешней мерой <math>\mu^*</math>, называется Лебеговым продолжением меры <math>m</math> и обозначается
: <math>\mu = L(m)</math>.
== Измеримые функции ==
| |||