Теория функций действительного переменного/Мера множеств, измеримые функции: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Galushin (обсуждение | вклад) →Общее понятие меры: оформление |
Galushin (обсуждение | вклад) дополнение |
||
Строка 8:
Понятие меры перешло из теории функций действительного переменного в теорию вероятностей, теорию динамических систем, функциональный анализ и другие области математики.
==
Понятие меры множеств может быть введено аксиоматически.
'''Мерой''' называется функция множества <math>~\mu(A)</math>, заданная на [[Теория функций действительного переменного/Системы множеств#Полукольцо множеств|полукольце множеств]], принимающая неотрицательные вещественные значения и обладающая свойством аддитивности: для любого конечного разложения множества на объединение попарно непересекающихся множеств
: <math>A = A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n</math>
имеет место равенство
<math>: \mu(A) = \sum_{k=1}^{n} \mu(A_k)</math>.
Мера пустого множества равна нулю, это следует из равенства
Строка 23:
и аддитивности меры
: <math>m(\varnothing) = m(\varnothing) + m(\varnothing) = 2 m(\varnothing)</math>.
Установим формулы для меры пересекающихся множеств <math>A_1</math> и <math>A_2</math>.
Объединение <math>A_1 \cup A_2</math> можно представить в виде объединения
: <math>A_1 \cup A_2 = A_1 \cup (A_2 \setminus A_1) </math>
непересекающихся множеств, поэтому в силу аддитивности меры
: <math> \mu(A_1 \cup A_2) = \mu(A_1) + \mu(A_2 \setminus A_1) </math>.
Множество <math>A_2</math> можно представить в виде объединения двух непересекающихся множеств
: <math>A_2 = (A_2 \setminus A_1) \cup ( A_1 \cap A_2)</math>,
из этого представления следует равенство
: <math>\mu(A_2 \setminus A_1) = \mu(A_2) - \mu ( A_1 \cap A_2)</math>.
Окончательно имеем
: <math>\mu(A_1 \cup A_2) = \mu(A_1) + \mu(A_2) - \mu(A_1 \cap A_2)</math>.
== Продолжение меры с полукольца на кольцо ==
Мера <math>\mu</math> называется продолжением меры <math>m</math>, если
: <math>\mathfrak{S}_m \subset \mathfrak{S}_\mu</math>
и для любого множества <math>A \in \mathfrak{S}_m</math> выполняется равенство
: <math>m(A) = \mu(A)</math>.
'''Теорема 1.''' Для каждой меры <math>m</math>, заданной на полукольце <math>\mathfrak{S}_m</math>, существует одно и только одно продолжение <math>\mu</math>, имеющее своей областью определения <math>\mathfrak{R}(\mathfrak{S})_m</math> — минимальное кольцо над <math>\mathfrak{S}_m</math>.
'''Доказательство.'''
Для каждого множества <math>A \in \mathfrak{S}_m</math> существует конечное разложение
: <math>A = \bigcup{k=1}^{n} A_k</math>
на непересекающиеся множества <math>A_k \in \mathfrak{S}_m</math>.
Положим
: <math>\mu(A) = \sum_{k=1}^{n} m(A_k)</math>.
Докажем, что данное определение <math>\mu</math> не зависит от выбора разложения.
Рассмотрим некоторое другое конечное разложение.
: <math>A = \bigcup_{j=1}^{r} B_j,~B_j \in \mathfrak{S}_m, j \neq k \Rightarrow B_j \cap B_k = \varnothing</math>.
Так как, по определению полукольца, множества вида <math>A_k \cap B_j</math> принадлежат <math>\mathfrak{S}_m</math>, то в силу аддитивности меры
: <math>\sum_{k=1}^{n} \mu(A_k) = \sum_{k=1}^{n} \sum_{j=1}^{r} \mu(A_k \cap B_j) = \sum_{k=1}^{n} \mu(B_j)</math>.
Неотрицательность и аддитивность функции <math>\mu</math> следует из неотрицательности и аддитивности меры <math>m</math>.
Таким образом, существование продолжения меры на кольцо <math>\mathfrak{R}(\mathfrak{S})_m</math> доказано.
Для доказательства единственности достаточно указать на тот факт, что для любого продолжения меры <math>\mu_1</math> должно выполняться равенство
: <math>\mu_1(A) = \sum_{k=1}^{n} \mu_1(A_k) = \sum_{k=1}^{n} m(A_k) = \mu(A)</math>.
Теорема доказана.
'''Теорема 2.''' Если <math>m</math> — мера, заданная на некотором кольце <math>\mathfrak{R}</math>, и даны множества <math>A_1,...,A_n</math>, принадлежащие <math>\mathfrak{R}</math>,
причём
: <math>j \neq k \Rightarrow A_k \cap A_j = \varnothing</math>
: <math>\bigcup_{k=1}^{n} A_k \subset A \in \mathfrak{R}</math>,
то выполняется неравенство
: <math>\sum_{k=1}^{n} m(A_k) \le m(A)</math>.
В частности, если <math>A_1 \subset A</math>, то <math>m(A_1) \le m(A)</math>.
'''Доказательство.'''
В силу аддитивности меры
: <math>m(A) = \sum_{k=1}^{n} m(A_k) + m \left( A \setminus \bigcup_{k=1}^{n} A_k \right)</math>.
А так как мера — неотрицательная функция, то
: <math>m \left( A \setminus \bigcup_{k=1}^{n} A_k \right) \ge 0</math>,
следовательно
: <math>m(A) \ge \sum_{k=1}^{n} m(A_k)</math>.
При <math>n = 1</math> получаем
: <math>A_1 \subset A \Rightarrow m(A_1) \le m(A)</math>.
Теорема доказана.
'''Теорема 3.''' Если <math>m</math> — мера, заданная на некотором кольце <math>\mathfrak{R}</math>, и даны множества <math>A_1,...,A_n</math>, принадлежащие <math>\mathfrak{R}</math>,
причём
: <math>\bigcup_{k=1}^{n} A_k \supset A \in \mathfrak{R}</math>,
то выполняется неравенство
: <math>\sum_{k=1}^{n} m(A_k) \ge m(A)</math>.
'''Доказательство.'''
Так как
: <math>m(A_1 \cup A_2) = m(A_1) + m(A_2) - m(A_1 \cap A_2) \le m(A_1) + m(A_2) </math>,
то по индукции можно показать, что
: <math>m \left( \bigcup_{k=1}^{n} A_k \right) \le \sum_{k=1}^{n} m(A_k)</math>.
Так как
: <math>A \subset \bigcup_{k=1}^{n} A_k</math>,
то
: <math>\bigcup_{k=1}^{n} A_k = A \cup \left( \bigcup_{k=1}^{n} A_k \setminus A \right)</math>.
В силу аддитивности и неотрицательности нормы
: <math>m(A) \le m \left( \bigcup_{k=1}^{n} A_k \right) \le \sum_{k=1}^{n} m(A_k) </math>,
откуда и следует утверждение теоремы.
== Счётная аддитивность ==
Иногда приходится рассматривать не только конечные, но и счётные объединения множеств. Это приводит к необходимости введения более сильного требования, чем аддитивность меры.
Строка 28 ⟶ 118 :
Мера <math>m</math> '''счётно-аддитивной''' или '''σ-аддитивной''', если для любого множества <math>~A</math> и любой счётной системы множеств
: <math>~A_1, A_2,...,A_n,...</math>,
принадлежащих её области определения <math>\mathfrak(S)_m</math> и удовлетворяющих
: <math>~i \neq j \Rightarrow A_i \cap A_j = \varnothing</math>,
: <math>A = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n</math>,
имеет место равенство
: <math>m(A) = \sum_{n=1}^{\infty} m(A_n)</math>.
'''Теорема 4.''' Если мера <math>m</math>, определённая на полукольце <math>\mathfrak{S}_m</math>, является σ-аддитивной, то и её продолжение <math>\mu</math> на кольцо <math>\mathfrak{R}(\mathfrak{S}_m)</math> является σ-аддитивным.
'''Доказательство.'''
Пусть дано множество <math>A \in \mathfrak{R}(\mathfrak{S}_m)</math> и его представление в виде объединения счётного числа множеств <math>B_k \in \mathfrak{R}(\mathfrak{S}_m)</math>:
: <math>A = \bigcup_{k=1}^{\infty} B_k</math>,
причём
: <math>k \neq j \Rightarrow B_k \cap B_j = \varnothing</math>.
Существуют представления
: <math>A = \bigcup_{j=1}^{n_j} A_j,~A_j \in \mathfrak{S}_m</math>
: <math>B_k = \bigcup_{t=1}^{r_k} B_{kt},~B_{kt} \in \mathfrak{S}_m</math>,
причём
: <math>j \neq i \Rightarrow A_j \cap A_i = \varnothing </math>
: <math>t \neq s \Rightarrow B_{kt} \cap B_{ks} = \varnothing </math>.
Множества вида
: <math>C_{jkt} = A_j \cap B_{kt}</math>
являются попарно непересекающимися, кроме того, имеют место равенства
: <math>A_j = \bigcup_{k=1}^{\infty} \bigcup_{t=1}^{r_k} C_{jkt}</math>,
: <math>B_{kt} = \bigcup_{j=1}^{n_j} C_{jkt}</math>.
Так как мера <math>m</math>, по условию теоремы, является σ-аддитивной на <math>\mathfrak{S}_m</math>, то
: <math>m(A_j) = \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{t=1}^{r_k} m(C_{jkt})</math>,
: <math>m(B_{kt}) = \sum_{t=1}^{r_k} m(C_{jkt})</math>.
А в силу теоремы 1:
: <math>\mu(A) = \sum_{j=1}^{n_j} m(A_j)</math>,
: <math>\mu(B_k) = \sum_{t=1}^{r_k} m(B_{kt})</math>.
Таким образом
: <math>\mu(A) = \sum_{j=1}^{n_j} m(A_j) = \sum_{j=1}^{n_j} \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{t=1}^{r_k} m(C_{jkt}) = \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{t=1}^{r_k} m(B_{kt}) = \sum_{k=1}^{\infty} \mu(B_k) </math>.
Теорема доказана.
Докажем теперь теоремы, обобщающие теоремы 2 и 3 на случай σ-аддитивных мер.
'''Теорема 2σ.''' Если <math>m</math> — мера, заданная на некотором кольце <math>\mathfrak{R}</math>, и даны множества <math>A_1,...,A_n</math>, принадлежащие <math>\mathfrak{R}</math>,
причём
: <math>j \neq k \Rightarrow A_k \cap A_j = \varnothing</math>
: <math>\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k \subset A \in \mathfrak{R}</math>,
то выполняется неравенство
: <math>\sum_{k=1}^{\infty} m(A_k) \le m(A)</math>.
В частности, если <math>A_1 \subset A</math>, то <math>m(A_1) \le m(A)</math>.
'''Доказательство.'''
В силу теоремы 2, при любом натуральном <math>n</math> выполняется неравенство
: <math>\sum_{k=1}^{n} m(A_k) \le m(A)</math>.
Утверждение теоремы получается предельным переходом при <math>n \to \infty</math>.
'''Теорема 3σ (счётная полуаддитивность).''' Если <math>m</math> — мера, заданная на некотором кольце <math>\mathfrak{R}</math>, и даны множества <math>A_1,...,A_n</math>, принадлежащие <math>\mathfrak{R}</math>,
причём
: <math>\bigcup_{k=1}^{n} A_k \supset A \in \mathfrak{R}</math>,
то выполняется неравенство
: <math>\sum_{k=1}^{n} m(A_k) \ge m(A)</math>.
'''Доказательство.'''
Введём обозначение
: <math>B_n = (A_n \cap A) \setminus \bigcup_{k=1}^{n-1} A_k</math>.
Так как <math>\mathfrak{R}</math> — кольцо множеств, то
: <math>B_n \in \mathfrak{R}</math>.
Кроме того,
: <math>B_n \subset A_n</math>
и
: <math>n \neq r \Rightarrow B_n \cap B_r = \varnothing</math>.
Таким образом
: <math>A = \bigcup_{n=1}^{\infty} B_n</math>
и следовательно
: <math>m(A) = \sum_{n=1}^{\infty} m(B_n) \le \sum_{k=1}^{\infty} m(A_k)</math>.
Теорема доказана.
== Лебегово продолжение меры ==
Пусть дано полукольцо <math>\mathfrak{S}_m</math> с единицей <math>E</math> и σ-аддитивная мера <math>m</math>, заданная на нём.
'''Внешней мерой''' множества <math>A \subset E</math> называют число, определяемое по формуле
: <math>\mu^*(A) = \inf \sum_{n} m (B_n)</math>,
где нижняя грань берётся по всям покрытиям множества <math>A</math> конечными или счётными системами множеств <math>B_n \in \mathfrak{S}_m</math>.
'''Теорема 5 (счётная полуаддитивность).'''
Если <math>\{ A_n \}</math> — конечная или счётная система множеств и
: <math>A \subset \bigcup_{n} A_n</math>,
то выполняется неравенство
: <math>\mu^*(A) \le \sum_n \mu^*(A_n)</math>.
'''Доказательство''' этой теоремы совпадает с доказательством теоремы 4.
Множество <math>A</math> называется '''измеримым (по Лебегу)''', если для любого вещественного числа <math>\epsilon > 0</math> найдётся такое множество <math>B \in \mathfrak{R}(\mathfrak{S}_m)</math>, что
Строка 44 ⟶ 223 :
Если внешняя мера рассматривается только на измеримых множествах, то её называют '''лебеговой мерой''' и обозначают <math>\mu(A)</math>.
При этом
: <math>A \in \mathfrak{S}_m \Rightarrow \mu(A) = m(A)</math>.
Из равенства
: <math>A_1 \vartriangle A_2 = (E \setminus A_1) \vartriangle (E \setminus A_2)</math>
следует, что если измеримо множество <math>A</math>, то измеримо и его дополнение <math>E \setminus A</math>.
'''Теорема 6.'''
Система <math>\mathfrak{M}</math> всех измеримых множеств есть кольцо.
'''Доказательство.'''
Так как имеют место равенства
: <math>A_1 \cap A_2 = A_1 \setminus (A_1 \setminus A_2)</math>,
: <math>A_1 \cup A_2 = E \setminus \left[ (E \setminus A_1) \cap (E \setminus A_2) \right]</math>,
то для доказательства данной теоремы нужно показать, что если
: <math>A_1, A_2 \in \mathfrak{M}</math>,
то
: <math>A = A_1 \setminus A_2 \in \mathfrak{M}</math>.
Возьмём произвольное вещественное число <math>\epsilon > 0</math>.
Пусть множества <math>A_1</math> и <math>A_2</math> являются измеримыми, тогда, по определению, существуют такие множества
: <math>B_1, B_2 \in \mathfrak{R}(\mathfrak{S}_m)</math>,
что выполняются неравенства
: <math>\mu^*(A_1 \vartriangle B_1) < \frac{\epsilon}{2}</math>,
: <math>\mu^*(A_2 \vartriangle B_2) < \frac{\epsilon}{2}</math>.
Так как
: <math>B = B_1 \setminus B_2 \in \mathfrak{R}(\mathfrak{S}_m)</math>
и выполняется соотношение
: <math>A \vartriangle B = (A_1 \setminus A_2) \vartriangle (B_1 \setminus B_2) \subset (A_1 \vartriangle B_1) \vartriangle (A_2 \vartriangle B_2)</math>,
то
: <math>\mu^*(A \vartriangle B) \le \mu^*(A_1 \vartriangle B_1) + \mu^*(A_2 \vartriangle B_2) < \epsilon</math>.
Так как число <math>\epsilon</math> — произвольное, то множество <math>A_1 \setminus A_2</math> является измеримым.
Теорема доказана.
'''Следствие.''' Так как <math>E</math> - это единица кольца <math>\mathfrak{M}</math>, то <math>\mathfrak{M}</math> - алгебра множеств.
== Измеримые функции ==
Строка 51 ⟶ 267 :
=== Определения и основные свойства ===
Рассмотрим два
Абстрактная функция (отображение, оператор) <math>f \colon X \rightarrow Y</math> называется <math>\left ( \mathfrak{S}_X, \mathfrak{S}_Y \right )</math>'''-измеримой''', если из <math>A \in \mathfrak{S}_Y</math> следует, что <math>f^{-1}(A) \in \mathfrak{S}_X</math>.
Понятие измеримой функции обобщает понятие непрерывной функции.
Рассмотрим множество <math>X</math> с
Действительная функция <math>f(x)</math> называется <math>\mu</math>-измеримой (или простой измеримой), если для любого борелевского множества <math>A</math> числовой прямой : <math>f^{-1}(A) \in \mathfrak{S}_{\mu}</math>.
Комплексная функция <math>\varphi(x)</math>, заданная на <math>X</math>, называется <math>\mu</math>-измеримой, если включение
: <math>\varphi^{-1}(A) \in \mathfrak{S}_{\mu}</math>
выполняется для любого борелевского подмножества комплексной плоскости.
Можно доказать, что это условие равносильно <math>\mu</math>-измеримости действительной и мнимой части данной функции. Числовая функция, заданная на вещественной прямой, называется '''борелевской''' или '''B-измеримой''', если прообраз каждого боролевского множества есть борелевское множество.
'''Теорема 2.1.''' Пусть <math>X</math>, <math>Y</math> и <math>Z</math> — произвольные множества, с заданными в них системами подмножеств <math>\mathfrak{S}_X</math>, <math>\mathfrak{S}_Y</math> и <math>\mathfrak{S}_Z</math> соответственно. Пусть функция <math>y = f(x)</math>, определённая на <math>X</math> является <math>\left ( \mathfrak{S}_X, \mathfrak{S}_Y \right )</math>-измеримой, а функция <math>z = g(y)</math>, определённая на <math>Y</math> является <math>\left ( \mathfrak{S}_Y, \mathfrak{S}_Z \right )</math>-измеримой. Тогда функция
: <math>z = \phi(x) = g \left ( f(x) \right )</math>
является <math>\left ( \mathfrak{S}_X, \mathfrak{S}_Z \right )</math>-измеримой.
Строка 72 ⟶ 290 :
'''Следствие.''' Борелевская функция от <math>\mu</math>-измеримой вещественной функции является <math>\mu</math>-измеримой. Непрерывная функция от <math>\mu</math>-измеримой функции является <math>\mu</math>-измеримой.
'''Теорема 2.2.''' Действительная функция <math>f(x)</math> является измеримой тогда и только тогда, когда для любого действительного числа <math>c</math> множество <math>\{x : f(x) < c \}</math> является измеримым.
=== Арифметические операции над измеримыми функциями ===
'''Теорема 2.3.''' Сумма, разность и произведение двух измеримых функций является измеримой функцией. Частное двух измеримых функций является измеримой функцией, если знаменатель не обращается в нуль.
'''Теорема 2.4.''' Предел сходящейся в каждой точке множества <math>X</math> последовательности измеримых функций является измеримой функцией.
=== Эквивалентные функции, сходимость почти всюду ===
Строка 87 ⟶ 305 :
Говорят, что некоторое свойство выполняется '''почти всюду''' на множестве <math>X</math>, если оно выполняется на всём множестве <math>X</math>, за исключением, быть может, точек, образующих множество меры нуль.
'''Теорема 2.5.''' Функция <math>f(x)</math>, заданная на некотором измеримом множестве <math>X</math> и эквивалентная на этом множестве измеримой функции <math>g(x)</math> также является измеримой.
Последовательность функций <math>\left \{ f_n(x) \right \}</math>, заданных на некотором пространстве <math>X</math> с мерой, называется '''сходящейся почти всюду''' к функции <math>f(x)</math>, если почти всюду на <math>X</math>
Строка 94 ⟶ 312 :
Используя понятие сходимости почти всюду, можно обобщить Теорему 4:
'''Теорема 2.4а.''' Если последовательность измеримых функций <math>\left \{ f_n(x) \right \}</math> сходится на множестве <math>X</math> к функции <math>f(x)</math> почти всюду, то функция <math>f(x)</math> является измеримой.
=== Теорема Егорова ===
Строка 100 ⟶ 318 :
Теорема Егорова устанавливает связь между сходимостью почти всюду и равномерной сходимостью.
'''Теорема 2.6 (Егоров).''' Пусть <math>X</math>
: <math>\mu(X_{\delta}) > \mu(X) - \delta</math>,
и на множестве <math>X_{\delta}</math> последовательность <math>\left \{ f_n(x) \right \}</math> сходится к функции <math>f(x)</math>
=== Сходимость по мере ===
Строка 111 ⟶ 329 :
Предполагается, что рассматриваемая мера является конечной.
'''Теорема 2.7.''' Если последовательность измеримых функций <math>\left \{ f_n(x) \right \}</math> сходится почти всюду к некоторой функции <math>f(x)</math>, то эта последовательность сходится к <math>f(x)</math> по мере.
'''Теорема 2.8.''' Если последовательность измеримых функций <math>\left \{ f_n(x) \right \}</math> сходится по мере к некоторой функции <math>f(x)</math>, то из этой последовательности можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к <math>f(x)</math> почти всюду.
[[Категория:Теория функций действительного переменного|Мера множеств, измеримые функции]]
| |||