Теория функций действительного переменного/Линейные пространства: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Galushin (обсуждение | вклад) введение |
Galushin (обсуждение | вклад) оформление, решение упр. 2, 3 |
||
Строка 3:
Введение на некотором множестве метрики (то есть расстояния между элементами этого множества) позволяет ввести понятие сходимости — фундаментальное понятие математического анализа.
В данном разделе мы рассмотрим такие множества, в которых можно ввести фундаментальные понятия алгебры: линейная комбинация, линейная зависимость, базис.
Понятие линейной комбинации, в свою очередь, позволяет говорить о выпуклых множествах и телах
== Определение ==
Непустое множество <math>~L</math> называют '''линейным пространством''' (или '''векторным пространством'''), если выполняются следующие условия:
* Для любых двух элементов <math>x, y \in L</math> однозначно определён элемент <math>z \in L</math>, который называется суммой этих элементов и обозначается <math>~x + y</math>, причём
*# Коммутативность: <math>~x + y = y + x</math>,
*# Ассоциативность: <math>~(x + y) + z = x + (y + z)</math>,
Строка 26:
Два линейных пространства <math>~L_1</math> и <math>~L_2</math> называются изоморфными друг другу, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие, согласованное с операциями линейного пространства. Это означает, что если
: <math>x_1, y_1 \in L_1</math>,
: <math>x_2, y_2 \in L_2</math>,
и установлены следующие взаимные соответствия
Строка 31 ⟶ 32 :
то для любого числа <math>~\alpha</math> должны выполняться соответствия
: <math>x_1 + y_1 \leftrightarrow x_2 + y_2</math>,
: <math>\alpha x_1 \leftrightarrow \alpha x_2</math>.
Строка 56 ⟶ 58 :
== Подпространства ==
Непустое подмножество <math>L'</math> линейного пространства <math>L</math> называется '''подпространством''', если оно является пространством по отношению к операциям сложения и умножения на число, определённых в исходном пространстве <math>L</math>.
Другими словами, <math>L'</math> является подпространством <math>L</math>, если для любых чисел <math>\alpha</math> и <math>\beta</math>:
: <math>x,y \in L' \Rightarrow \alpha x + \beta y \in L'</math>.
Любое пространство можно считать своим подпространством. Кроме того, любое пространство содержит подпространство состоящее из одного — нулевого — элемента (так называемое '''нулевое подпространство'''). Подпространство, отличное от всего пространства и содержащее хотя бы один ненулевой элемент, называется '''собственным
Пересечение двух подпространств <math>L_1</math> и <math>L_2</math> линейного пространства <math>L</math> также является подпространством этого пространства. Для доказательства, рассмотрим два произвольных вектора <math>x, y</math>, принадлежащих пересечению подпространств, и два произвольных числа <math>a, b</math>:
Строка 65 ⟶ 67 :
По определению пересечения множеств:
: <math>x, y \in L_1</math>,
: <math>x, y \in L_2</math>.
Следовательно, по определению подпространства линейного пространства:
: <math>a x + b y \in L_1</math>,
: <math>a x + b y \in L_2</math>.
Так как вектор <math>a x + b y</math> принадлежит и множеству <math>L_1</math>, и множеству <math>L_2</math>, то он принадлежит, по определению, и пересечению этих множеств. Таким образом:
Строка 98 ⟶ 102 :
Транзитивность. Рассмотрим три вектора <math>x, y, z</math>. Пусть
: <math>x - y \in L'</math>,
: <math>y - z \in L'</math>,
тогда, по определению подпространства линейного пространства:
Строка 116 ⟶ 121 :
'''Упражнение 1.''' Докажите, что введённые операции действительно удовлетворяют аксиомам линейного пространства и не зависят от выбора представителей классов смежности.
Если размерность пространства <math>L</math> равна <math>n</math>, а размерность подпространства <math>L'</math> равна <math>k</math>, то размерность фактор-пространства равна <math>n - k</math>.▼
Размерность фактор-пространства <math>L / L'</math> называется '''коразмерностью''' подпространства <math>L'</math> в пространстве <math>L</math>.
Если коразмерность некоторого подпространства <math>L' \
: <math>x = \sum_{i=1}^{n}a_i x_i + y</math>,
где <math>~a_1,...,a_n</math> — некоторые числа и <math>y \in L'</math>.
'''Упражнение
▲
== Решения для упражнений ==
Строка 138 ⟶ 141 :
Возьмём в каждом классе по два представителя:
: <math>x_1, y_1 \in \eta_1</math>,
: <math>x_2, y_2 \in \eta_2</math>.
Рассмотрим следующие вектора:
: <math>x = x_1 + x_2</math>,
: <math>y = y_1 + y_2</math>
и найдём разность между ними
: <math>~x - y = (x_1 + x_2) - (y_1 + y_2) = (x_1 - y_1) + (x_2 - y_2)</math>.
По определению класса смежности
: <math>x_1 - y_1 \in L'</math>,
: <math>x_2 - y_2 \in L'</math>.
А так как <math>L'</math> — подпространство линейного пространства, то и
Строка 157 ⟶ 163 :
Нужно доказать, что вектора
: <math>y_1 = a x_1</math>
: <math>y_2 = a x_2</math>
принадлежат одному классу смежности.
Строка 183 ⟶ 190 :
Для доказательства остальных свойств нужно использовать тот факт, что определение суммы классов смежности и умножения класса смежности на число не зависит от выбора представителя, а представители классов смежности являются элементами линейного пространства.
'''Упражнение 2.'''
Пусть фактор пространство <math>L / L'</math> имеет размерность <math>n</math>, выберем в этом фактор-пространстве базис
: <math>\eta_1,...,\eta_n</math>
тогда произвольный класс можно представить в виде линейной комбинации
: <math>\eta = \sum_{j=1}^{n} a_j \eta_j</math>.
Рассмотрим вектор <math>x \in \eta</math>, выберем в каждом из базисных классов <math>\eta_j</math> по одному представителю <math>x_j</math>, тогда, по определению класса смежности фактор-пространства
: <math>y = x - \sum_{j=1}^{n} a_j x_j \in L'</math>,
то есть любой вектор <math>x \in L</math> действительно представим в виде
: <math>x = \sum_{j=1}^{n} a_j x_j + y</math>,
причём
: <math>y \in L'</math>.
'''Упражнение 3.'''
Если <math>k = n</math>, то <math>L = L'</math> и теорема утверждение становится тривиальным.
Будем далее считать, что <math>k < n</math>.
Пусть <math>e'_1,...,e'_k</math> — базис в пространстве <math>L'</math>.
Так как размерность пространства <math>L</math> равна <math>n</math>, то можно так выбрать вектора <math>x_1,...x_{n-k}</math>, чтобы система
: <math>~e'_1,...,e'_k, x_1,...,x_{n-k}</math>
была линейно независимой.
Вектора <math>x_1,...x_{n-k}</math> принадлежат разным классам смежности, причём ни один из этих векторов не лежит в <math>L'</math>.
Действительно, если <math>x_j</math> и <math>x_i</math> принадлежат одному классу смежности, то
: <math>x_j - x_i = y \in L'</math>,
или
: <math>x_j = x_i + \sum_{t=1}{k} a_t e'_t</math>,
где <math>a_1,...a_k</math> — некоторые числа,
то есть система окажется линейно-зависимой.
Аналогично доказывается, что <math>x_j \notin L'</math>.
Так как мы указали <math>n-k</math> линейно-независимых векторов, принадлежащих разным классам смежности, то можно найти <math>n-k</math> линейно-независимых классов смежности <math>\eta_1,...,\eta_{n-k}</math>.
Рассмотрим теперь произвольный класс смежности <math>\eta</math> и выберем в нём представителя <math>x</math>.
Так как система
: <math>~e'_1,...,e'_k, x_1,...,x_{n-k}</math>
является линейно-независимой, то вектор <math>x</math> можно представить в виде
: <math>~x = b_1 x_1 + ... + b_{n-k} x_{n-k} + c_1 e'_1 + ... + c_k e'_k</math>.
Так как
: <math>z = c_1 e'_1 + ... + c_k e'_k \in L'</math>,
то вектор <math>x</math> принадлежит классу смежности
: <math>~b_1 \eta_1 + ... + b_{n-k} \eta_{n-k}</math>,
а так как класс смежности вполне определяется одним своим представителем, то
: <math>~\eta = b_1 \eta_1 + ... + b_{n-k} \eta_{n-k}</math>.
Утверждение доказано.
[[Категория:Теория функций действительного переменного|Линейные пространства]]
| |||