Теория функций действительного переменного/Полные метрические пространства: различия между версиями

Содержимое удалено Содержимое добавлено
единственность пополнения
Строка 294:
 
'''Единственность.'''
 
Пусть <math>R_1</math> и <math>R_2</math> — два пополнения пространства <math>R</math>, покажем, чтото между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие
: <math>\phi \colon R_1 \to R_2</math>
такое, что
: <math>\forall x \in R \Rightarrow \rho(x) = x</math>,
 
: <math>\forall x, y \in R_1 \Rightarrow \rho_1(x, y) = \rho_2(\phi(x), \phi(y))</math>,
где <math>\rho_1</math> и <math>\rho_2</math> — метрики пространств <math>R_1</math> и <math>R_2</math> соответственно.
 
Выберем произвольную точку <math>x' \in R_1</math>.
Так как по предположению <math>R_1</math> — пополнение пространства <math>R</math>, то существует фундаментальная последовательность <math>\{ x_n \} </math>, сходящаяся к точке <math>x'</math>.
Но так как <math>R_2</math> тоже является пополнением <math>R</math>, то данная последовательность сходится к некоторой точке <math>x'' \in R_2</math>.
Можно доказать, что <math>x''</math> не зависит от выбора последовательности.
Если положить
: <math>\phi(x') = x''</math>,
то получим искомое отображение.
Действительно, если <math>x' \in R</math>, то <math>x'' \in R</math>.
Кроме того, если в пространстве <math>R_1</math>
: <math>\lim_{n \to \infty} x_n = x',~\lim_{n \to \infty} y_n = y'</math>,
а в пространстве <math>R_2</math>
: <math>\lim_{n \to \infty} x_n = x'',~\lim_{n \to \infty} y_n = y''</math>,
то в силу непрерывности метрики
: <math>\rho_1(x', y') = \lim_{n \to \infty} \rho_1(x_n, y_n) = \lim_{n \to \infty} \rho(x_n, y_n)</math>,
 
: <math>\rho_2(x'', y'') = \lim_{n \to \infty} \rho_2(x_n, y_n) = \lim_{n \to \infty} \rho(x_n, y_n)</math>,
а следовательно
: <math>\rho_1(x', y') = \rho_2(x'', y'')</math>.
 
Теорема доказана.
 
[[Категория:Теория функций действительного переменного|Полные метрические пространства]]