Теория функций действительного переменного/Полные метрические пространства: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Galushin (обсуждение | вклад) →Теоремы о полных пространствах: доказательство |
Galushin (обсуждение | вклад) →Теоремы о полных пространствах: ошибка в формуле, док-во т. Бэра |
||
Строка 133:
'''Достаточность.'''
Пусть <math>\{ x_n \}</math>
: <math>\rho(x_{n_1}, x_n) < \frac{1}{2}</math>.
Обозначим
: <math>B_1 = B[x_{n_1}, 1]</math>.
Строка 143:
: <math>B_2 = B\left[x_{n_2}, 2^{-1}\right]</math>.
Пусть мы уже выбрали номера
: <math>n_1 < n_2 < ... < n_k </math>.
Строка 149:
: <math>\rho(x, x_{n_{k+1}}) < \frac{1}{2^k}</math>,
обозначим
: <math>
Продолжая этот процесс, мы получим последовательность замкнутых вложенных шаров, по предположению теоремы эта последовательность имеет общую точку, обозначим эту точку как <math>x</math>.
Строка 157:
Так как последовательность взята произвольно, то метрическое пространство <math>R</math> является полным.
'''Теорема 3 (Бэр).''' Полное метрическое пространство <math>R</math> не может быть представлено в виде объединения счётного числа нигде не плотных множеств.
'''Доказательство''' проведём от противного.
Пусть
: <math>R = \bigcup_{n=1}^{\infty} M_n</math>,
причём каждое из множеств <math>M_n</math> нигде не плотно.
Рассмотрим некоторый замкнутый шар <math>B_0</math> радиуса 1, так как множество <math>M_1</math> нигде не плотно, то оно не плотно и в шаре <math>B_0</math>, то есть существует шар <math>B_1 \subset B_0</math>, радиус которого меньше <math>1/2</math>, такой, что
: <math>B_1 \cap M_1 = \varnothing</math>.
Множество <math>M_2</math> не плотно в шаре <math>B_1</math>, значит существует шар <math>B_2 \subset B_1</math>, радиус которого меньше <math>1/3</math>, для которого
: <math>B_2 \cap M_2 = \varnothing</math>,
и так далее.
Таким образом можно получить последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров
: <math>\{ B_n \}</math>,
радиусы которых стремятся к нулю, причём
: <math>B_n \cap M_n = \varnothing</math>.
По теореме о вложенных шарах пересечение
: <math>B = \bigcap_{n=1}^{\infty} B_n</math>
содержит некоторую точку <math>x \in R</math>, которая не принадлежит ни одному из <math>M_n</math>, так как
: <math>\forall n : B_n \cap M_n = \varnothing</math>,
а значит точка <math>x</math> не принадлежит и объединению всех <math>M_n</math>
: <math>x \notin \bigcup_{n=1}^{\infty} M_n</math>,
то есть
: <math>R \neq \bigcup_{n=1}^{\infty} M_n</math>,
что противоречит исходному предположению.
Теорема доказана.
== Пополнение метрического пространства ==
| |||