Теория функций действительного переменного/Полные метрические пространства: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Galushin (обсуждение | вклад) удалил пустые подзаголовки, соотв. изменил комментарии |
Galushin (обсуждение | вклад) →Теоремы о полных пространствах: доказательство |
||
Строка 113:
'''Теорема 2 (о вложенных шарах).''' Для того, чтобы метрическое пространство было полным необходимо и достаточно, чтобы в нём всякая последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имела непустое пересечение.
'''Необходимость.'''
Рассмотрим полное метрическое пространство <math>R</math> и последовательность <math>\{ B_n \}</math> вложенных друг в друга замкнутых шаров с центрами <math>\{ x_n \}</math> и радиусами <math>r_n</math>:
: <math>B_n = B[x_n, r_n]</math>.
Последовательность центров <math>x_n</math> является фундаментальной, так как
: <math>\rho(x_n, x_m) < r_n</math>,
и
: <math>\lim_{n \to \infty} r_n = 0</math>.
Так как пространство <math>R</math> является полным, то последовательность <math>\{ x_n \}</math> сходится и
: <math>x = \lim_{n \to \infty} x_n \in R</math>.
Шар <math>B_n</math> содержит все точки последовательность <math>\{ x_n \}</math> кроме, быть может, точек <math>x_1,...,x_{n-1}</math>, а следовательно <math>x</math> — точка прикосновения любого из шаров <math>B_n</math>, так как шары предполагаются замкнутыми, отсюда следует, что
: <math>\forall n : x \in B_n</math>.
По определению пересечения множеств
: <math>x \in \bigcap_{n=1}^{\infty} B_n</math>.
Таким образом, пересечение шаров <math>B_1,...,B_n,...</math> действительно не является пустым множеством.
'''Достаточность.'''
Пусть <math>\{ x_n \}</math> - фундаментальная последовательность, тогда можно указать такой номер <math>n_1</math>, что для <math>n > n_1</math> будет выполняться неравенство
: <math>\rho(x_{n_1}, x_n) < \frac{1}{2}</math>.
Обозначим
: <math>B_1 = B[x_{n_1}, 1]</math>.
Следующий номер <math>n_2 > n_1</math> выберем таким образом, чтобы при <math>n > n_2</math> выполнялось неравенство
: <math>\rho(x_{n_2}, x_n) < \frac{1}{4}</math>.
Обозначим
: <math>B_2 = B\left[x_{n_2}, 2^{-1}\right]</math>.
Пусть мы уже выбрали номера
: <math>n_1 < n_2 < ... < n_k </math>.
Номер <math>n_{k+1} > n_k</math> выберем так, чтобы при <math>n > n_{k+1}</math> выполнялось неравенство
: <math>\rho(x, x_{n_{k+1}}) < \frac{1}{2^k}</math>,
обозначим
: <math>B_n = B\left[x_{n_{k+1}}, 2^{-k} \right]</math>.
Продолжая этот процесс, мы получим последовательность замкнутых вложенных шаров, по предположению теоремы эта последовательность имеет общую точку, обозначим эту точку как <math>x</math>.
Очевидно, что эта точка служит пределом последовательности <math>\{ x_{n_k} \}</math>.
Фундаментальная последовательность, содержащая сходящуюся подпоследовательность, сходится к тому же пределу, следовательно
: <math>x = \lim_{n \to \infty}x_n</math>.
Так как последовательность взята произвольно, то метрическое пространство <math>R</math> является полным.
'''Теорема 3 (Бэр).''' Полное метрическое пространство не может быть представлено в виде объединения счётного числа нигде не плотных множеств.
| |||