Теория функций действительного переменного/Непрерывные отображения метрического пространства: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Galushin (обсуждение | вклад) →Непрерывность в точке: стилевые правки, оформление |
Galushin (обсуждение | вклад) стилевые правки, оформление, дополнение |
||
Строка 1:
{{Содержание «Теория функций действительного переменного»}}
Пусть даны два метрические пространства R = ('''X''', ρ<sub>X</sub>) и R' = ('''Y''', ρ<sub>Y</sub>), подмножество <math>A \subseteq X</math> и отображение <math>f:A \to Y</math>.▼
Непрерывная функция мало меняется при малом изменении аргумента.
Легко понять, что это важнейшее для приложений математики свойство.
Допустим, что зависимость какого-то технического устройства от характеристик его составных частей не является непрерывной.
Это означало бы, что малейшая погрешность при изготовлении детали может привести к полной неработоспособности всего устройства.
Для отображений произвольных метрических пространств также можно ввести понятие непрерывности.
== Непрерывность в точке ==
▲Пусть даны два метрические пространства R = ('''X''', ρ<sub>X</sub>) и
Непрерывность отображения метрического пространства можно определить несколькими способами. Данное определение обобщает известное определение [[w:Непрерывная функция|непрерывной функции]] из математического анализа.▼
▲Непрерывность отображения метрического пространства можно определить несколькими способами. Данное определение обобщает известное определение
'''Определение 1.''' Отображение ''f'' называется непрерывным в точке <math>a \in A</math>, если для любого вещественно числа <math>\epsilon > 0 </math> существует такое вещественное число <math>\delta > 0</math>, что для любой точки <math>x \in A</math> из неравенства
Строка 27 ⟶ 35 :
== Эквивалентность определений непрерывности ==
Рассмотрим определение непрерывного отображения по Коши.
Если
: <math>x \in A \cap B(a, \delta)</math>,
то по определению пересечения множества
: <math>x \in A,~x \in B(a, \delta)</math>,
по определению открытого шара в этом случае
Аналогично
: <math>f(x) \in B(f(a), \epsilon) \Leftrightarrow \rho_Y(f(x), f(a)) \epsilon </math>.
Таким образом, определение по Коши эквивалентно определению 1.
Теперь рассмотрим определение по Гейне.
Если последовательность <math>\{ x_n \}</math> сходится к <math>a \in A</math>, то для любого вещественного числа <math>\delta > 0</math> существует такой номер <math>n_\delta > 0</math>, что
: <math>n > n_\epsilon \Rightarrow \rho_X(x_n, a) < \epsilon</math>.
Аналогично, если
: <math>\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(a)</math>,
то для любого вещественного числа <math>\epsilon > 0</math> существует такой номер <math>n_\epsilon > 0</math>, что
: <math>n > n_\delta \Rightarrow \rho_Y(f(x_n), f(a)) < \epsilon</math>.
Если выбрать из <math>n_\epsilon</math> и <math>n_\delta</math> наибольшее
: <math>n_0 = \max(n_\epsilon, n_\delta)</math>,
то при <math>n > n_0</math> будут выполняться оба условия.
Последовательность <math>\{ x_n \}</math> можно взять произвольно, значит для любого <math>x \in A</math> такого, что
: <math>~\rho_X (x,a) < \delta</math>
будет выполняться неравенство
: <math>~\rho_Y(f(x), f(a)) < \epsilon</math>.
== Непрерывность и равномерная непрерывность на множестве ==
: <math>(\forall a \in A)(\forall \epsilon > 0)(\exist \delta >0)(\forall x\in A)\quad \rho_X (x,a) < \delta \Rightarrow \rho_Y (f(x),f(a))< \epsilon</math> : <math>(\forall \epsilon >0)(\exist \delta >0) (\forall x_1,x_2 \in A)\quad \rho_X (x_1,x_2)< \delta \Rightarrow \rho_Y (f(x_1), f(x_2))<\epsilon</math>. '''Доказательство.''' Чтобы доказать теорему, покажем, что равномерно-непрерывное отображение ''f'' непрерывно для любого элемента из '''A'''.
== Дополнения ==▼
Возьмём произвольный элемент <math>a\in A</math>, зафиксируем его и положим ''x<sub>2</sub>=a'' в
определении равномерно-непрерывного отображения:
: <math>(\forall \epsilon >0)(\exist \delta >0) (\forall x_1 \in A)\quad \rho_X (x_1, a) < \delta \Rightarrow \rho_Y (f(x_1), f(a)) < \epsilon</math>,
а это обозначает, что отображение непрерывно в <math>a</math>, а так как элемент <math>a</math> был выбран произвольно, то ''f'' — непрерывно на всём множестве '''A'''.
== Изометрические пространства ==
Аналогичным образом можно ввести понятие непрерывной функции от нескольких переменных <math>x_1 \in X_1,..., x_n \in X_n</math>, где <math>~X_1,...,X_2</math> - метрические пространства, со значениями в метрическом пространстве ('''Y''', ρ<sub>Y</sub>).▼
Если отображение <math>f:X \to Y</math> взаимно-однозначно, то существует обратное отображение <math>f^{-1} : Y \to X</math>.
Взаимно-однозначное отображение
▲''Определение 6:'' Если отображение <math>f:X \to Y</math> взаимно-однозначно, то существует обратное отображение <math>f^{-1} : Y \to X</math>. Если отображение '''f''' - взаимно-однозначно и взаимно-непрерывно (то есть непрерывно как '''f''', так и <math>f^{-1}</math>), то оно называется гомеоморфным отображением или гомеоморфизмом, а сами пространства ('''X''', ρ<sub>X</sub>) и ('''Y''', ρ<sub>Y</sub>), между которыми можно установить гомеоморфизм, называются гомеоморфными между собой.
: <math>f \colon R \to R'</math>
называется '''изометрией''', если для любых двух точек <math>\forall x_1, x_2 \in R</math> имеет место равенство
: <math>~\rho_X(x_1, x_2) = \rho_Y(f(x_1), f(x_2))</math>,
Изометрия
▲:<math>~\rho_X(x_1, x_2) = \rho_y(f(x_1), f(x_2))</math>.
▲== Дополнения ==
▲Аналогичным образом можно ввести понятие непрерывной функции от нескольких переменных <math>x_1 \in X_1,..., x_n \in X_n</math>, где <math>~X_1,...,X_2</math>
▲''Определение 8:'' Пространства R и R', между которыми можно установить изометрическое соответствие, называются изометричными.
'''Замечание.''' Сама метрика является непрерывным отображением от двух переменных на множество действительных чисел. Это следует из свойства 4 [[Теория функций действительного переменного/Сходимость метрического пространства#Предел последовательности в метрическом пространстве|сходящихся последовательностей]].
▲Изометрия двух метрических пространств означает, что с точки зрения теории метрических пространств эти пространства можно рассматривать просто как тождественные.
[[Категория:Теория функций действительного переменного|Непрерывные отображения метрического пространства]]
|