Теория функций действительного переменного/Непрерывные отображения метрического пространства: различия между версиями

Содержимое удалено Содержимое добавлено
Уточнение ключа сортировки
→‎Непрерывность в точке: стилевые правки, оформление
Строка 4:
== Непрерывность в точке ==
 
Непрерывность отображения метрического пространства можно определить несколькими способами. Данное определение обобщает известное определение [[w:Непрерывная функция|непрерывной функции]] из математического анализа.
''Определение 1:''&nbsp; Пусть элемент <math>a \in A</math>.Отображение ''f'' называется непрерывным в точке <math>a</math>, если выполнено условие: <math>(\forall \epsilon >0)(\exist \delta >0) (\forall x \in A)\quad \rho_X (x,a)<\delta\Rightarrow \rho_Y (f(x),f(a))< \epsilon</math>.
 
'''Определение 1.'''&nbsp; Отображение ''f'' называется непрерывным в точке <math>a \in A</math>, если для любого вещественно числа <math>\epsilon > 0 </math> существует такое вещественное число <math>\delta > 0</math>, что для любой точки <math>x \in A</math> из неравенства
Нестрого говоря, отображение называется непрерывным, если оно переводит близкие точки в близкие (близость определяется метрикой соответствующих пространств). Данное определение обобщает известное определение непрерывной функции из элементарного анализа.
: <math>~\rho_X (x,a) < \delta</math>
следует неравенство
: <math>~\rho_Y (f(x), f(a)) < \epsilon</math>.
 
Нестрого говоря, отображение называется непрерывным, если оно переводит близкие точки в близкие (близость определяется метрикой соответствующих пространств). Данное определение обобщает известное определение непрерывной функции из элементарного анализа.
''Определение 2: (по Коши)''&nbsp; Отображение ''f'' называется непрерывным в точке <math>a</math>, если <math>(\forall \epsilon >0) (\exist \delta >0) (\forall x \in A\cap B(a, \delta)\Rightarrow f(x)\in B(f(a),\epsilon)</math>.
 
'''Определение 3:2 (по ГейнеКоши).'''&nbsp; Отображение ''f'' называется непрерывным в точке <math>a</math>, если для любого вещественно числа <math>\forallepsilon \{x_n\}\subset> 0 A</math> изсуществует того,такое чтовещественное число <math>lim_{n \todelta \infty}> x_n=a0</math> следует, что <math>\lim_{n \to \infty} f(x_n)=f(a)</math>.из
: <math>x \in A \cap B(a, \delta)</math>
следует
: <math> f(x) \in B(f(a), \epsilon)</math>.
 
'''Определение 2:3 (по КошиГейне).'''&nbsp; Отображение ''f'' называется непрерывным в точке <math>a \in A</math>, если для любой последовательности <math>(\forall{ x_n \epsilon }</math>0) (\existточек \deltaмножества <math>A</math>0) (\forallсходящейся xк \inточке A\cap B(<math>a, \delta)\Rightarrow f(x)\in B(f(a),\epsilon)A</math>.:
: <math>\lim_{n \to \infty} x_n = a</math>,
имеет место равенство
: <math>\lim_{n \to \infty} f(x_n)=f(a)</math>.
 
Можно доказать, что все три эти определения эквивалентны.
 
== Эквивалентность определений непрерывности ==