Теория функций действительного переменного/Непрерывные отображения метрического пространства: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Ashikbot (обсуждение | вклад) Уточнение ключа сортировки |
Galushin (обсуждение | вклад) →Непрерывность в точке: стилевые правки, оформление |
||
Строка 4:
== Непрерывность в точке ==
Непрерывность отображения метрического пространства можно определить несколькими способами. Данное определение обобщает известное определение [[w:Непрерывная функция|непрерывной функции]] из математического анализа.
'''Определение 1.''' Отображение ''f'' называется непрерывным в точке <math>a \in A</math>, если для любого вещественно числа <math>\epsilon > 0 </math> существует такое вещественное число <math>\delta > 0</math>, что для любой точки <math>x \in A</math> из неравенства
Нестрого говоря, отображение называется непрерывным, если оно переводит близкие точки в близкие (близость определяется метрикой соответствующих пространств). Данное определение обобщает известное определение непрерывной функции из элементарного анализа.▼
: <math>~\rho_X (x,a) < \delta</math>
следует неравенство
: <math>~\rho_Y (f(x), f(a)) < \epsilon</math>.
▲Нестрого говоря, отображение называется непрерывным, если оно переводит близкие точки в близкие (близость определяется метрикой соответствующих пространств)
''Определение 2: (по Коши)'' Отображение ''f'' называется непрерывным в точке <math>a</math>, если <math>(\forall \epsilon >0) (\exist \delta >0) (\forall x \in A\cap B(a, \delta)\Rightarrow f(x)\in B(f(a),\epsilon)</math>.▼
'''Определение
: <math>x \in A \cap B(a, \delta)</math>
следует
: <math> f(x) \in B(f(a), \epsilon)</math>.
▲'''Определение
: <math>\lim_{n \to \infty} x_n = a</math>,
имеет место равенство
: <math>\lim_{n \to \infty} f(x_n)=f(a)</math>.
Можно доказать, что все три эти определения эквивалентны.
== Эквивалентность определений непрерывности ==
|