Теория функций действительного переменного/Полные метрические пространства: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Ashikbot (обсуждение | вклад) Уточнение ключа сортировки |
Galushin (обсуждение | вклад) оформление, викификация, стилевые правки, дополнение |
||
Строка 1:
{{Содержание «Теория функций действительного переменного»}}
== Определение и примеры ==
Метрическое пространство ('''M''', ρ) называется '''полным''', если любая его фунментальная последовательность сходится к элементу этого пространства.
Рассмотрим несколько примеров.
: <math>(\mathbb{R}, \rho)</math>.
Если <math>\{ x_n \}</math> — фундаментальная последовательность элементов пространства <math>(\mathbb{R}, \rho)</math>, то
: <math>(\forall \epsilon > 0)\quad(\exist n_0\in\mathbb{N})\quad(\forall m>n_0)\;(\forall n>n_0) \quad|x_n-x_m| < \epsilon </math>.
В силу [[w: Критерий Коши|критерия Коши сходимости числовой последовательности]] последовательность <math>\{x_n\}</math> сходится, а следовательно <math>(\mathbb{R}, \rho)</math> — полное метрическое пространство.
'''Пример 2.''' Пусть '''M''' = (0; 1), ρ(''x, y'')=|''x-y''|.
Рассмотрим последовательность
: <math>\left \{ \frac{1}{n+1} \right \}</math>
элементов множества <math>M \subset \mathbb{R}</math>.
Так как
: <math>\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0</math>,
то последовательность
: <math>\left \{ \frac{1}{n+1} \right \}</math>
сходится и ([[Теория функций действительного переменного/Сходимость метрического пространства|согласно свойству 1 фундаментальных последовательностей]]) является фундаментальной.
Но <math>0 \notin M </math>, поэтому пространство ('''M''', ρ) — не является полным метрическим пространством.
Причина этого заключается в том, что интервал <math>(0; 1)</math> — незамкнутый.
'''Замечание.''' Последовательность
: <math>\left \{ \frac{1}{n+1} \right \}</math>
является примером фундаментальной последовательности элементов множества '''M''', которая не сходится в '''M'''.
'''Пример 3.''' Пусть <math>M = \mathbb{Q}</math>, ρ(''x, y'')=|''x — y''|.
Рассмотрим последовательность следующую последовательность
: <math>\left \{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \right \}</math>
рациональных чисел.
Как [[w:Число e|известно]] из математического анализа:
: <math>\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n = e \notin \mathbb{Q} </math>.
Таким образом, в метрическом пространстве ('''Q''', ρ) существуют фундаментальные послеовательности, которые не сходятся к элементам <math>\mathbb{Q}</math>, следовательно, ('''Q''', ρ) не является полным метрическим пространством.
'''Пример 4.''' Рассмотрим n-мерное евклидово пространство <math>\mathbb{R}^n</math> с метрикой
: <math>\rho = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}</math>.
Покажем, что метрическое пространство <math>(\mathbb{R}^n, \rho)</math> — полное.
Рассмотрим фунментальную последовательность
: <math>\{x^{(k)}\}</math>
(здесь номера членов последовательности обозначены индексом в скобках наверху).
По определению фундаментальной последовательности,
: <math>(\forall \epsilon > 0)\;(\exist n_0 \in \mathbb{N})(\forall k, m > n_0) </math>
выполняется неравенство
: <math>\sqrt{\sum_{i=1}^n \left( x_i^{(k)}-x_i^{(m)} \right)^2} < \epsilon</math>.
=== <!--просьба вот этот пустой заголовок пока не убирать--> ===
'''Пример 5.''' Покажем, что метрическое пространство непрерывных на отрезке <math>[a, b]</math> функций <math>C[a, b]</math> с метрикой
: <math>\rho(f, g) = \max_{x \in [a,b]}|f(x) - g(x)|</math>
является полным.
Рассмотрим фундаментальную последовательность непрерывных функций
<math>\{ x_n \}</math>,
тогда для любого вещественного числа <math>\epsilon > 0</math> существует такой номер <math>n_0</math> что
при <math>n, m > n_0</math> для любого <math>t \in [a; b]</math> выполняется неравенство
: <math>| x_n(t) - x_m(t) | < \epsilon</math>,
это означает, что последовательность <math>\{ x_n(t) \}</math> сходится равномерно, а так как предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций есть непрерывная функция
: <math>x(t) = \lim_{n \to \infty} x_n(t)</math>
Если в неравенстве
: <math>| x_n(t) - x_m(t) | < \epsilon</math>,
перейти к пределу при <math>m \to \infty</math>, то оно перейдёт в неравенство
: <math>| x_n(t) - x(t) | < \epsilon</math>
справедливое для всех <math>n > n_0</math> и любого <math>t \in [a; b]</math>, а значит
<math>\rho(x, x_n) < \epsilon</math>,
таким образом последовательность <math>\{ x_n(t) \}</math> к <math>x(t)</math> в метрике пространства <math>C[a; b]</math>.
=== <!--просьба вот этот пустой заголовок пока не убирать--> ===
'''Пример 6.''' Покажем что пространство непрерывных функций <math>C_2[-1; 1]</math> не является полным.
Рассмотрим последовательность непрерывных функций вида
: <math>g_n(t) = \begin{cases}
-1, & -1 \le t \le -\frac{1}{n} \\
t, & -\frac{1}{n} \le t \le \frac{1}{n} \\
1, & \frac{1}{n} \le t \le 1
\end{cases}</math>.
Последовательность <math>\{ g_n \}</math> является фундаментальной. Действительно, рассмотрим две функции <math>g_n</math> и <math>g_m</math>, они отличаются друг от друга лишь на отрезке ширины
: <math>\frac{2}{\min(n, m)}</math>,
причём абсолютная величина различия не превышает 1, следовательно
: <math>\rho(g_n, g_m)^2 = \int \limits_{-1}^{1} (g_n(t) - g_m(t))^2 dt \le \frac{2}{\min(n, m)}</math>.
Однако последовательность <math>\{ g_n \}</math> не сходится ни к одной непрерывной функции из <math>C_2[0; 1]</math>.
Для доказательства этого факта рассмотрим произвольную функцию <math>f \in C_2[-1; 1]</math> и разрывную функцию
: <math>g(t) = \begin{cases}
-1, & -1 \le t \le 0 \\
1, & 0 < t \le 1
\end{cases}</math>.
В силу интегрального неравенства Минковского (это неравенство справедливо и для кусочно-непрерывных функций):
: <math>\sqrt{\int \limits_{-1}^{1} [f(t) - g(t)]^2 dt } \le \sqrt{\int \limits_{-1}^{1} [f(t) - g_n(t)]^2 dt} + \sqrt{\int \limits_{-1}^{1} [g_n(t) - g(t)]^2 dt}</math>.
Так как <math>f</math> — непрерывная функция, а <math>g</math> имеет разрыв, то
: <math>\int \limits_{-1}^{1} [f(t) - g(t)]^2 dt > 0</math>.
С другой стороны:
: <math>\int \limits_{-1}^{1}[g_n(t) - g(t)]^2 dt \le \frac{2}{n} </math>
и следовательно
: <math>\lim_{n \to \infty} \int \limits_{-1}^{1}[g_n(t) - g(t)]^2 dt = 0 </math>.
Таким образом:
: <math>\lim_{n \to \infty} \sqrt{\int \limits_{-1}^{1}[f(t) - g_n(t)]^2 dt} \ge \sqrt{\int \limits_{-1}^{1} [f(t) - g(t)]^2 dt} > 0 </math>.
== Теоремы о полных пространствах ==
'''Теорема 1.''' Пусть ('''M''', ρ) — полное метрическое пространство и <math>F \subset M</math>.
Метрическое просранство ('''F''', ρ) является полным тогда и только тогда, когда <math>[F] = F</math> ('''F''' — замкнутое.)
<!-- '''Доказательство.''' -->
'''Теорема 2 (о вложенных шарах).''' Для того, чтобы метрическое пространство было полным необходимо и достаточно, чтобы в нём всякая последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имела непустое пересечение.
'''Теорема 3 (Бэр).''' Полное метрическое пространство не может быть представлено в виде объединения счётного числа нигде не плотных множеств.
== Пополнение метрического пространства ==
Полнота пространства является очень важным с точки зрения анализа свойством, так как в неполных пространсвах не все фундаментальные последовательности имеют предел.
Возникает вопрос: можно ли расширить неполное пространство таким образом, чтобы оно стало полным.
Оказывается, что это всегда можно сделать, причём такое расширение является, по-существу, единственным.
Напомним, что множество <math>A \subset M</math> называется всюду плотным в пространстве '''M''', если <math>[A] = M</math>.
Например, <math>\mathbb{Q}</math> является плотным в <math>\mathbb{R}</math> так как <math>[\mathbb{Q}] = \mathbb{R}</math>.
Пусть ('''M''', ρ) — полное метрическое пространство и <math>X \subset M</math>.
('''M''', ρ) называется пополнением метрического пространства ('''X''', ρ), если <math>[X] = M</math>.
Например, <math>(\mathbb{R}, \rho)</math> — пополнение <math>\mathbb{Q},\rho</math>.
Справедлива следующая теорема:
'''Теорема 4.''' Любое метрическое пространство имеет пополнение, и оно единственно с точностью до изоморфизма.
[[Категория:Теория функций действительного переменного|Полные метрические пространства]]
| |||