Теория функций действительного переменного/Метрическое пространство: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Galushin (обсуждение | вклад) стилевые правки |
Galushin (обсуждение | вклад) оформление, фактические ошибки, пунктуация, дополнение |
||
Строка 1:
{{Содержание «Теория функций действительного переменного»}}
{{Wikipedia|Метрическое пространство}}▼
В основе [[w:Математический анализ|математического анализа]] лежит понятие [[w:Предел последовательности#Предел числовой последовательности|предела числовой последовательности]].
Строка 12 ⟶ 10 :
Пусть ''M'' — некоторое непустое [[w:Множество|множество]], ''ρ'' — некое отображение, ставящие в соответствие двум элементам множества ''M'' некоторое неотрицательное вещественное число:
: <math>\rho \colon M\times M\to \mathbb{R}_0^+</math>,
отображение ''ρ'' называется '''метрикой''', если оно обладает следующими свойствами (аксиомы метрики):
# Аксиома тождества: <math>~\rho(x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y</math>
# Аксиома симметрии: <math>~\rho(x, y) = \rho(y, x) </math>
# [[w:неравенство треугольника|Аксиома треугольника]]: <math>~\rho(x, y) \le \rho(x, z) + \rho(z, y) </math>
Совокупность множества ''M'' и определённой на нём метрики ''ρ'' называют '''метрическим пространством''' и обозначают (''M'',''ρ'').
Иногда, особенно когда из контекста понятно о какой метрике идёт речь, метрическое пространство обозначают так же, как и само множество ''М''.
Одним из простейших (и важнейших) примеров метрического пространства является числовая прямая.
Покажем, что
Действительно, рассмотрим три произвольных вещественных числа
: <math>x, y, z \in \mathbb{R}</math>,
Строка 29 ⟶ 27 :
: <math>~|x - y| = |x - z + z - y| \le |x - z| + |z - y|</math>.
Пусть (''M'', ''ρ'')
Например, множество рациональных чисел является подмножеством действительных чисел:
Строка 38 ⟶ 36 :
: <math>(\mathbb{Q},\rho)</math>
будет метрическим пространством.
В принципе, любое множество можно рассматривать как метрическое пространство.
: <math>\rho(x, y) = \begin{cases}▼
0, & x = y\\▼
1, & x \neq y▼
\end{cases} </math>,▼
то получится метрическое пространство, которое называют '''пространством изолированных точек'''.▼
На одном и том же множестве можно задавать различные метрики (ниже дан пример), однако не следует считать, что метрику можно задавать произвольно.
Дело в том, что при решении практических задач метрика, как правило, является частью постановки задачи.
== Свойства метрики ==
Строка 49 ⟶ 58 :
По аксиоме тождества
: <math>~\forall x \in M : \rho(x, x) = 0</math>.
С другой стороны, по аксиоме треугольника:
: <math>~\forall y \in M : \rho(x, x) \le \rho(x, y) + \rho(y, x)</math>.
Строка 84 ⟶ 93 :
'''Доказательство''' основано на применении неравенства многоугольника для <math>n = 4</math>:
: <math>\rho (x,z)\le \rho (x,y)+\rho (y,u)+\rho (u,z) \Rightarrow \rho (x,z)-\rho (y,u)\le \rho (x,y)+\rho (u,z)</math>,
: <math>\rho (y,u)\le \rho (x,y)+\rho (x,z)+\rho (u,z) \Rightarrow \rho (y,u)-\rho (x,z)\le \rho (x,y)+\rho (u,z)</math>.
Сравнивая два эти неравенства, получим
Строка 93 ⟶ 103 :
: <math>|\rho (x, z)-\rho (z,y)|\le \rho (x, y)</math>.
Для доказательства нужно положить <math>u=z</math>
== Важные неравенства ==
Для проверки аксиомы треугольника для различных пространств
'''Лемма 1 (неравенство Коши-Буняковского):'''
Строка 157 ⟶ 167 :
'''Доказательство.'''
Если одна из функций равна нулю на всём <math>[a; b]</math>, то левая и правая части нестрого неравенства равны нулю и лемма доказана.
Теперь будем считать, что обе функции не равны тождественно нулю на всём <math>[a; b]</math>.
Строка 188 ⟶ 198 :
Мы уже рассмотрели два метрических пространства: множество вещественных чисел и множество рациональных чисел.
Ниже приведены ещё некоторые примере метрических пространств,
Проверка первых двух аксиом является, как правило, тривиальной задачей, основные трудности связаны с доказательством справедливости аксиомы треугольника.
▲Если для элементов произвольного множества ввести так называемую [[w:Дискретная метрика|дискретную метрику]]:
▲: <math>\rho(x, y) = \begin{cases}
▲ 0, & x = y\\
▲ 1, & x \neq y
▲\end{cases} </math>,
▲то получится метрическое пространство, которое называют пространством изолированных точек.
=== Комплексные числа ===▼
Множество [[w:Комплексное число|комплексных чисел]] <math>\mathbb{C}</math> с метрикой▼
: <math>\rho(z_1, z_2) = |z_1 - z_2|</math>▼
является метрическим пространством.▼
Справедливость аксиом следует из свойств модуля комплексного числа.▼
=== Арифметическое евклидово пространство ===
Множество <math>\mathbb{R}^
: <math>\rho(x, y) = \sqrt{\sum_{k=1}^
является метрическим пространством.
Действительно, рассмотрим любые три элемента из множества <math> \mathbb{R}^
: <math>x = (x_1,...,
: <math>y = (y_1,...,
: <math>z = (z_1,...,
Тогда
# <math>\rho (x, y)=0 \Leftrightarrow \sqrt{\sum_{k=1}^
# <math>\rho (x, y) =\sqrt{\sum_{k=1}^
▲# <math>\rho (x, y) =\sqrt{\sum_{k=1}^N (x_i - y_i)^2} = \sqrt{\sum_{k=1}^N \big((-1)(y_i - x_i)\big)^2} = \sqrt{\sum_{k=1}^N
Перейдём к проверке третьей аксиомы.<br /> 3.
Строка 232 ⟶ 225 :
то есть аксиома действительно выполняется.
Таким образом,
=== Метрика Хэмминга ===
Снова рассмотрим множество
: <math>\rho_1(x,y) = \sum_{k=1}^
Метрика такого вида называется [[w:Расстояние Хэмминга|метрикой Хэмминга]].
Метрическое пространство <math>(R^n, \rho_1)</math> обозначают <math>\mathbb{R}^n_1</math>.
=== Равномерная метрика ===
На множестве <math>\mathbb{R}^n</math> можно ввести ещё одну метрику
: <math>\rho_\infty(x, y) = \max_{1 \le k \le n} |x_k - y_k|</math>.
Пространство с данной метрикой обозначают <math>\mathbb{R}^n_\infty</math>.
Таким образом, три рассмотренных примера показывают, что на основе одного и того же множество можно, задавая различные метрики, строить различные метрические пространства.
▲=== Комплексные числа ===
▲Множество [[w:Комплексное число|комплексных чисел]] <math>\mathbb{C}</math> с метрикой
▲: <math>\rho(z_1, z_2) = |z_1 - z_2|</math>
▲является метрическим пространством.
▲Справедливость аксиом следует из свойств модуля комплексного числа.
Действительно, если <math>z_1 = x_1 + i y_1</math>, а <math>z_2 = x_2 + i y_2</math>, то
: <math>|z_1 - z_2| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}</math>,
таким образом, с точки зрения теории метрических пространств, множество комплексных чисел эквивалентно двумерному арифметическому евклидову пространству ([[w:Комплексное число#Геометрическое представление|геометрическая интерпретация комплексных чисел]]).
=== Непрерывные функции ===
Множество непрерывных на отрезке <math>[a, b]</math> функций <math>C[a; b]</math> с метрикой
: <math>\rho(f, g) = \max_{x \in [a; b]} |f(x)-g(x)|</math>
Строка 260 ⟶ 275 :
Докажем теперь аксиому треугольника.
Для любых трёх функций
: <math>f, g, h \in C[a; b]</math>,
в силу неравенства треугольника для модуля, выполняется неравенство
: <math>|f(x) - g(x)| = |f(x) - h(x) + h(x) - g(x)| \le |f(x) - h(x)| + |h(x) - g(x)|</math>.
Строка 280 ⟶ 295 :
: <math>\rho(f, g) = \max_{x \in [a; b]}|f(x) - g(x)| \le \max_{x \in [a; b]} | f(x) - h(x)| + \max_{x \in [a; b]} | h(x) - g(x)| = \rho(f, h) + \rho(h, g)</math>.
На множестве непрерывных функций метрику можно определить иначе, например
: <math>\rho(x, y) = \sqrt{\int \limits_{a}^{b} [x(t) - y(t)]^2}</math>,
полученное метрическое пространство обозначают <math>C_2[a; b]</math>.
=== Пространства числовых последовательностей ===
Рассмотрим множество всевозможных числовых последовательностей вида
: <math>x = \{x_1,...,x_n,...\}</math>,
удовлетворяющих условию
: <math>\sum_{k=1}^{\infty} x_k^2 < \infty</math>.
Если на этом множестве ввести расстояние
: <math>\rho(x, y) = \sqrt{\sum_{k=1}^{\infty} (x_k - y_k)^2}</math>,
то получим метрическое пространство, которое обозначают <math>l_2</math>.
Ряд
: <math>\sum_{k=1}^{\infty} (x_k - y_k)^2</math>
сходится, если сходятся ряды
: <math>\sum_{k=1}^{\infty} x_k^2,~\sum_{k=1}^{\infty} y_k^2</math>,
а значит введённая метрика имеет смысл для любых последовательностей из <math>l_2</math>.
Доказательство аксиом тождества и симметрии не представляет труда, доказательство справедливости аксиомы треугольника для указанной метрики можно с помощью предельного перехода в неравенстве Минковского.
== Выводы ==
Приведённые примеры показывают, что понятия метрики и метрического пространства позволяют рассматривать с единых позиций такие непохожие на первый взгляд объекты, как вещественные и комплексные числа, вектора, непрерывные функции и числовые последовательности.
▲{{Wikipedia|Метрическое пространство}}
[[Категория:Теория функций действительного переменного|Метрическое пространство]]
| |||