Теория функций действительного переменного/Сходимость метрического пространства: различия между версиями

это равносильно тому, что для любого вещественного числа <math>\epsilon > 0</math> существует натуральное число <math>n_0</math> такое, что для любого номера <math>~n > n_0</math> выполняется неравенство

: <math>~\rho (x_n, a) < \epsilon</math>.

 

'''Свойство 1 (Единственность предела).'''

: <math>\rho (x_n, x_m) < \epsilon</math>.

 

 

'''Свойство А.''' Если последовательность сходится, то она является фундаментальной.

: <math>(\forall \epsilon >0)\quad (\exists n_0\in \mathbb{N})\quad (\forall n>n_0)\quad (\forall m>n_0)\quad \rho (x_n,x_m)< \epsilon</math>.

Положим <math>\epsilon = 1</math>(найдя для него соответствующее n₀), m= n₀+1. Тогда

Определим число <math>r</math> следующим образом:

: <math>r = \max \{ 1, \rho(x_1, x_{n_0 + 1}), \rho(x_2, x_{n_0 + 1}),..., \rho(x_{n_0}, x_{n_0 + 1}) \}</math>,