Теория функций действительного переменного/Множества в метрическом пространстве: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Galushin (обсуждение | вклад) →Типы множеств в метрическом пространстве: свойство 3 - ошибка в формуле |
Galushin (обсуждение | вклад) доказательства, упражнение. |
||
Строка 45:
будет иметь место неравенство
: <math>\rho(x, x_0) \le d(X)</math>,
таким образом, множество <math>X</math> содержится в шаре
: <math>~B[x_0, d(X)]</math>,
то есть является ограниченным. Теорема доказана.
Строка 84:
Свойство доказано.
'''Свойство 3.''' Замыкание подмножества есть подмножество замыкания содержащего его множества:
: <math>X \subset Y \Rightarrow [X] \subset [Y]</math>.
Строка 127:
'''Замечание.''' Иногда эту теорему берут за определение замкнутого множества, а тот факт, что замкнутое множество является дополнением открытого доказывают как теорему.
Из данной теоремы и свойств операции замыкания следует, что замыкание множества — это наименьшее замкнутое множество, содержащее данное.
'''Теорема 3.''' Пересечение любого числа и объединение любого конечного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество.
'''Доказательство.'''
Рассмотрим счётную систему множеств
: <math>\{ X_n \}</math>
и их пересечение
: <math>X = \bigcap_{n=1}^{\infty} X_n</math>.
Пусть <math>x</math> — произвольная предельная точка множества <math>X</math>, тогда любая её окрестность <math>O_\epsilon(x)</math> содержит бесконечно много точек из <math>X</math>, а по свойству пересечения множеств, любая точка <math>X</math> принадлежит всем <math>X_n</math>, а так как каждое из этих множеств замкнуто, то им всем принадлежит и сама точка <math>x</math>.
Таким образом
: <math>x \in X = \bigcap_{n=1}^{\infty} X_n</math>,
а значит множество <math>X</math> является замкнутым.
Рассмотрим теперь множество <math>Y</math>, представляющее собой объединение конечного числа замкнутых множеств:
<math>Y = \bigcup_{k=1}^{n} Y_k</math>.
Рассмотрим произвольную точку <math>x \notin Y</math> и покажем, что она не может быть предельной точкой множества <math>Y</math>.
По определению объединения множеств, точка <math>x</math> не принадлежит ни одному из замкнутых множеств <math>Y_k</math>, а значит не является предельной ни для одного из них.
Поэтому для каждого из множеств <math>Y_k</math> можно указать такое вещественное число <math>\epsilon_k</math>, что окрестность <math>O_{\epsilon_k}(x)</math> будет содержать лишь конечное число точек из <math>Y_k</math>. Выбрав из этих окрестностей наименьшую, получим окрестность точки <math>x</math> содержащую не более чем конечное число точек из <math>Y</math>.
А значит точка <math>x</math>, по определению, не может быть предельной для <math>Y</math>.
В силу принципа двойственности справедлива следующая теорема.
'''Теорема 3а.''' Объединение любого числа и пересечение любого конечного числа открытых множеств суть открытые множества.
Отметим, что существуют множества не открытые и не замкнутые.
Строка 135 ⟶ 161 :
Например, если <math>M</math> — множество рациональных точек отрезка <math>[0; 1]</math>, то каждая точка этого отрезка является предельной точкой множества <math>M</math>.
Точка <math>x \in
Точка <math>x</math> называется '''внутренней''' точкой множества <math>X</math>, если существует окрестность <math>O_\epsilon(X)</math>, лежащая целиком в <math>X</math>.
'''Теорема 3.''' Всякая точка прикосновения множества есть либо предельная, либо изолированная точка этого множества.▼
▲'''Теорема
'''Доказательство.'''
Пусть <math>x</math> — произвольная точка прикосновения множества <math>M \subset R</math>, а значит любая её
окрестность должна пересекаться с множеством <math>M</math>.
Если эта точка не является предельной, то можно указать окрестность в которой содержится лишь конечное число точек из <math>M</math>.
Обозначим эти точки <math>x_1,...,x_n</math>.
Если положить
: <math>r = \min_{1 \le k \le n} \rho(x, x_k) </math>,
то шар <math>B(x, r)</math> не будет содержать ни одну из точек <math>x_1,...,x_n</math>.
Таким образом, мы указали окрестность точки <math>x</math>, которая не содержит других точек множества <math>M</math>, то есть если точка не является предельной, то она изолированная.
Наоборот, если предельная точка <math>x</math> не является изолированной, то в любой её окрестности содержится бесконечно много точек множества <math>M</math>.
Действительно, если бы точек было лишь конечное число, мы могли бы указать окрестность (как это было сделано выше), которая не содержит точек из <math>M</math> кроме самой <math>x</math>.
Теорема доказана.
Из этой теоремы следует, что замыкание множества M состоит, в общем случае, из точек трёх типов:
Строка 143 ⟶ 187 :
# Предельные точки множества M, принадлежащие M;
# Предельные точки множества M, не принадлежащие M.
Таким образом, замыкание множества получается присоединением к нему всех его предельных точек.
Строка 156 ⟶ 201 :
Если в метрическом пространстве имеется счётное всюду плотное множество, то такое пространство называется '''сепарабельным'''.
Например, рациональные числа образуют счётное всюду плотное множество на числовой прямой, так как всякой вещественное число — это предел последовательности рациональных чисел.
Пространство изолированных точек является сепарабельным только если оно само счётно, так как в дискретной метрике замыкание любого множества совпадает с ним самим.
== Структура открытых и замкнутых множеств на прямой ==
== Упражнения ==
'''Упражнение 1.''' Доказать, что все точки открытого множества являются внутренними.
[[Категория:Теория функций действительного переменного|Множества в метрическом пространстве]]
| |||