Теория функций действительного переменного/Множества в метрическом пространстве: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Ashikbot (обсуждение | вклад) Уточнение ключа сортировки |
Galushin (обсуждение | вклад) оформление, доказательства |
||
Строка 1:
{{Содержание «Теория функций действительного переменного»}}
В формулировке многих теорем анализа встречается понятие окрестности точки.
Понятие окрестности можно ввести в произвольном метрическом пространстве.
Кроме того, в метрическом пространстве можно ввести понятие о подмножестве пространства, являющемся аналогом шара в элементарной геометрии.
== Типы множеств в метрическом пространстве ==
Пусть <math>R = (M, \rho)</math> — метрическое пространство, <math>a \in R</math> произвольная точка этого пространства, а <math>r > 0</math> — пололжительное вещественное число.
Дадим некоторые определения.
Множество
: <math>B[a, r] = \left\{ x \in M \mid \rho (x, a) \le r \right\}</math>,
то есть множество всех точек, удалённых от заданной точки <math>a</math> не более чем на заданную величину <math>r</math>, называется '''замкнутым шаром''' радиуса <math>r</math> с центром в точке <math>a</math>.
Множество
: <math>B(a, r) = \left\{ x \in M \mid \rho (x, a) < r \right\}</math>,
то есть множество всех точек, удалённых от заданной точки <math>a</math> менее чем на заданную величину <math>r</math>, называется открытым шаром радиуса <math>r</math> с центром в <math>a</math>.
Открытый шар радиуса <math>\epsilon</math> с центром в точке x называется '''ε-окрестностью''' этой точки и обозначается
: <math>~ O_{\epsilon}(x)</math>.
Множество <math>X \subset M</math> называется '''ограниченным''', если существует замкнутый шар, содержащий внутри себя множество <math>X</math>, в противном случае множество <math>X</math> называется неограниченным.
'''Диаметром''' непустого множества <math>X \subset M</math> называется величина
: <math>d(X)=\sup_{x,y \in X} \rho (x,y) </math>.
Справедлива следующая теорема.
'''Теорема 1.''' Множество <math>X \subset M</math> является ограниченным тогда и только тогда, когда его диаметр конечен.
'''Доказательство.'''
Пусть множество <math>X \subset M</math> является ограниченным, а содержащий его шар — <math>B[a, r]</math>.
Оценим расстояние между двумя произвольными точками <math>x, y \in X</math> этого множества.
В силу аксиомы треугольника для метрики:
: <math>\rho(x, y) \le \rho(x, a) + \rho(a, y) \le 2 r</math>,
а следовательно
: <math>d(X) = \sup_{x,y \in X} \rho (x,y) \le 2 r</math>,
то есть диаметр ограниченного множества конечен.
Необходимость доказана.
Докажем теперь достаточность.
Пусть диаметр множества <math>X \subset M</math> конечен.
Выберем произвольную точку <math>x_0 \in X</math>, тогда для любой другой точки <math>x \in X</math>
будет иметь место неравенство
: <math>\rho(x, x_0) \le d(X)</math>,
таким образом, множество <math>X</math> содержится в шаре
: <math>~B[x_0, d(X)]</math>,
то есть является ограниченным. Теорема доказана.
Множество называется '''открытым''', если любая точка этого множества принадлежит множеству вместе с некоторой своей окрестностью (то есть с открытым шаром c центром в этой точке).
Множество <math>X \subset M</math> называется '''замкнутым''' , если его дополнение <math>M \setminus X</math> есть открытое множество.
Точка <math>x \in M</math> называется '''точкой прикосновения''' множеcтва <math>X \subset M</math>, если любая её окрестность имеет непустое пересечение с этим множеством.
'''Замыканием''' множества <math>X</math> называется совокупность всех точек прикосновения этого множества (обозначается <math>~[X]</math>, иногда в литературе используется также обозначение <math>\overline {X}</math>).
Мы будем использовать обозначение <math>~[X]</math>, так как черта над символом уже имеет несколько значений(например: комплексно-сопряжённое число, дополнение множества).
Преобразование, ставящее в соответствие множеству его замыкание, называется '''операцией замыкания'''.
Рассмотрим некоторые свойства операции замыкания.
'''Свойство 1.''' Множество целиком содержится в своём замыкании:
: <math>X \subset [X]</math>.
Данное свойство следует из того факта, что любая точка множества является его точкой прикосновения.
'''Свойство 2.''' Повторное применение операции замыкания не меняет результат:
: <math>\left [ \left [ X \right ] \right ] = \left [ X \right ]</math>.
'''Доказательство.'''
Пусть <math>x \in [[X]]</math>.
Тогда в любой её окрестности — шаре <math>B(x, \epsilon)</math> — найдётся точка <math>x_1 \in [X]</math>.
Рассмотрим шар <math>~ B(x_1, \epsilon_1)</math> радиуса <math>~\epsilon_1 = \epsilon - \rho(x, x_1)</math>.
Этот шар лежит внутри шара <math>B(x, \epsilon)</math>.
Действительно, пусть
: <math>y \in B(x_1, \epsilon_1) \Rightarrow \rho(y, x_1) < \epsilon_1</math>,
а по аксиоме треугольника
: <math>\rho(y, x) \le \rho(y, x_1) + \rho(x_1, x) < \epsilon_1 + (\epsilon - \epsilon_1) = \epsilon </math>.
Так как <math>x_1 \in [X]</math>, то в шаре <math>B(x_1, \epsilon_1)</math> найдётся точка <math>x_2 \in X</math>, но тогда
: <math>x_2 \in B(x, \epsilon)</math>,
а так как <math>B(x, \epsilon)</math> — произвольная окрестность, содержащая <math>x</math>, то <math>x \in [X]</math>.
Свойство доказано.
'''Свойство 3.''' Замыкание подмножества есть подмножество замыкания:
: <math>X \subset Y \Rightarrow [X] \subset [Y]</math>.
'''Доказательство.'''
Если <math>x \in [X]</math>, то в любой окрестности <math>O_\epsilon(x)</math> существует такая точка <math>x_1</math>, что <math>x_1 \in X</math>,
но так как <math>X \subset [Y]</math>, то <math>x_1 \in Y</math>, а следовательно <math>x \in [Y]</math>,
то есть
: <math>x \in [X] \Rightarrow x \in [Y]</math>,
а это как раз и обозначает, что <math>[X] \subset [Y]</math>.
Свойство доказано.
'''Свойство 4.''' Замыкание объединения множеств совпадает с объединением их замыканий:
: <math>\left [ X \cup Y \right ] = [X] \cup [Y]</math>.
'''Доказательство.'''
По определению объединения множеств
: <math>X \subset X \cup Y, ~Y \subset X \cup Y</math>,
следовательно, по свойству 3:
: <math>[X] \subset [X \cup Y], ~[Y] \subset [X \cup Y]</math>,
а значит
: <math>[X] \cup [Y] \subset [X \cup Y]</math>.
Докажем теперь обратное включение.
Пусть <math>x \in [X \cup Y]</math>, рассмотрим некоторую окрестность <math>O_\epsilon(x)</math>, по определению замыкания, существует такая точка <math>x_1 \in O_\epsilon(x)</math>, что <math>x_1 \in X \cup Y</math>, а значит точка <math>x</math> принадлежит по крайней мере одному из множеств <math>[X]</math> или <math>[Y]</math>.
'''Теорема 2(Критерий замкнутости множества).''' Множество <math>X \subset M</math> является замкнутым тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим замыканием.
'''Доказательство.'''
Пусть множество <math>X</math> является замкнутым, тогда его дополнение
: <math>Y = M \setminus X</math>
будет открытым множеством.
А значит для любой точки <math>y \in Y</math> и любого вещественного числа <math>\epsilon > 0</math>:
: <math>O_\epsilon (y) \subset Y = M \setminus X</math>,
то есть для любой точки <math>x \in M</math>
: <math>x \notin X \Rightarrow x \notin [X]</math>,
а так как по свойству 1 <math>X \subset [X]</math>, то замыкание замкнутого множество есть само это множество.
Пусть теперь <math>X = [X]</math>, это означает, что любая окрестность любой точки множества <math>M \setminus X</math> не имеет общих точек с <math>X</math>, то есть целиком лежит в <math>M \setminus X</math>, таким образом, множество <math>M \setminus X</math> является, по определению, открытым, а <math>X</math> — замкнутым.
'''Замечание.''' Иногда эту теорему берут за определение замкнутого множества, а тот факт, что замкнутое множество является дополнением открытого доказывают как теорему.
Отметим, что существуют множества не открытые и не замкнутые.
Существуют и множества, являющиеся и открытыми, и замкнутыми: пустое множество и всё пространство.
Точка метрического пространства <math>x \in R</math> называется '''предельной точкой''' множества <math>M \subset R</math>, если любая её окрестность содержит бесконечно много точек из <math>M</math>.
Предельная точка может принадлежать, а может и не принадлежать <math>M</math>.
Например, если <math>M</math> — множество рациональных точек отрезка <math>[0; 1]</math>, то каждая точка этого отрезка является предельной точкой множества <math>M</math>.
Точка <math>x \in M \subset R</math> называется '''изолированной''' точкой множества <math>M</math>, если в достаточно малой её окрестности нет точек из <math>M</math>, отличных от <math>x</math>.
'''Теорема 3.''' Всякая точка прикосновения множества есть либо предельная, либо изолированная точка этого множества.
Из этой теоремы следует, что замыкание множества M состоит, в общем случае, из точек трёх типов:
Строка 36 ⟶ 145 :
Таким образом, замыкание множества получается присоединением к нему всех его предельных точек.
== Плотные подмножества ==
Пусть <math>A</math> и <math>B</math> — два множества в метрическом пространстве <math>R</math>.
Множество <math>A</math> называется '''плотным''' в множестве <math>B</math>, если его замыкание включает множество <math>B</math>, то есть
: <math>[A] \supset B</math>.
Если замыкание множества <math>A</math> совпадает со всем пространством <math>R</math>, то говорят, что множество А — '''всюду плотное''' (в пространстве R).
Множество <math>A</math> называется '''нигде не плотным''', если оно не плотно ни в одном шаре.
Если в метрическом пространстве имеется счётное всюду плотное множество, то такое пространство называется '''сепарабельным'''.
== Структура открытых и замкнутых множеств на прямой ==
== Упражнения ==
[[Категория:Теория функций действительного переменного|Множества в метрическом пространстве]]
| |||