Викиучебник

Теория функций действительного переменного/Метрическое пространство: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
м →‎Непрерывные функции: выравнивание двух формул
Строка 254:
Аксиома тождества доказана.
 
Аксиома симметрии:
Так как для любого вещественного числа <math>z</math> имеет место равенство
: <math>| - z | = |z|</math>,▼
то
: <math>\rho(x, y) = \max_{x \in [a; b]} |f(x) - g(x)| = \max_{x \in [a; b]} |-(f(x) - g(x))| = \max_{x \in [a; b]} |g(x) - f(x)| = \rho(y, x)</math>.
Аксиома симметрии тоже выполняется.
 
ИзДокажем неравенстватеперь аксиому треугольника для модуля, следует.
Для любых трёх функций
: <math>|f(x) - g(x)| = |(f(x) - h(x)) - (g(x) - h(x))| \le |f(x) - h(x)| - |g(x) - h(x)|</math>.▼
▲: <math>|f, -g, zh |\in =C[a; |z|b]</math>,
в силу неравенства треугольника для модуля, выполняется неравенство
▲: <math>|f(x) - g(x)| = |(f(x) - h(x)) -+ (gh(x) - hg(x))| \le |f(x) - h(x)| -+ |gh(x) - hg(x)|</math>.
Возьмём максимальное значение левой и правой части:
: <math>\max_{x \in [a; b]} \{ w_1|f(x) +- w_2g(x)| \}le \le \max_{x \in [a; b]} \left\{ w_1|f(x) \}- h(x)| + \max_{|g(x) \in- [a; b]} \{ w_2h(x)| \right\} </math>.▼
 
Кроме того, такТак как на отрезке <math>[a; b]</math> имеетдля местолюбых следующеедвух очевидноефункций <math>w_1, w_2 \in C[a; b]</math>, в силу определения наибольшего значения, имеет место неравенство
: <math>ww_1(x) + w_2(x) \le \max_{x \in [a; b]} \{ ww_1(x) + \max_{x \in [a; b]} w_2(x) </math>,
иа следовательно▼
то
: <math>\max_{x \in [a; b]} \{ w_1(x) + w_2(x) \} \le \max_{x \in [a; b]} \{ w_1(x) \} + \max_{x \in [a; b]} \{ w_2(x) \} </math>,
то есть наибольшее значение суммы функций не превосходит суммы их наибольших значений.
▲и следовательно
▲: <math>\max_{x \in [a; b]} \{ w_1(x) + w_2(x) \} \le \max_{x \in [a; b]} \{ w_1(x) \} + \max_{x \in [a; b]} \{ w_2(x) \} </math>.
 
Используем последнее неравенство, положив
Наконец, если
: <math>w_1(x) \le= | f(x) - h(x)|,~w_2(x) = | h(x) - g(x)|</math>,
получим
то
: <math>\max_{x \in [a; b]} w_1\{ {| f(x) - h(x)| + | h(x) - g(x)|} \} \le \max_{x \in [a; b]} w_2| f(x) - h(x)| + \max_{x \in [a; b]} | h(x) - g(x)|</math>.
 
А значит:
Используя эти факты, можно доказать, что аксиому треугольника выполняется:
: <math>\rho(f, g) = \max_{x \in [a; b]} |f(x) - g(x)| \le \max_{x \in [a; b]} | f(x) - h(x)| + \max_{x \in [a; b]} |g h(x) - hg(x)| = \rho(f, h) + \rho(h, g)</math>.
 
Аксиома действительно выполняется.
 
[[Категория:Теория функций действительного переменного|Метрическое пространство]]
Источник — https://ru.wikibooks.org/wiki/Теория_функций_действительного_переменного/Метрическое_пространство