Теория функций действительного переменного/Линейные функционалы: различия между версиями

Содержимое удалено Содержимое добавлено
Уточнение ключа сортировки
оформление
Строка 3:
== Определения ==
 
'''Функционал''' — это правило, по которому каждому элементу некоторого множества ставится в соответствие некоторое действительное число.
''Функционал'' — это функция, отображающая произвольное множество на множество действительных чисел. Функционал <math>f</math>, заданный на некотором линейном пространстве <math>L</math> называют ''аддитивным'', если он обладает следующим свойством
 
''Функционал'' — это функция, отображающая произвольное множество на множество действительных чисел. Функционал <math>f</math>, заданный на некотором[[Теория функций действительного переменного/Линейные пространства|линейном пространстве]] <math>L</math> называют '''аддитивным''', если он обладает следующим свойством
: <math>f(x + y) = f(x) + f(y)~\forall x,y \in L</math>.
 
Функционал называется '''однородным''', если для любого числа <math>\alpha</math> имеет место равенство
: <math>f(\alpha x) = \alpha f(x)~\forall x \in L</math>.
 
Функционал, заданный на комплексном линейном пространстве, называется ''сопряжённо-однородным'', если если для любого числа <math>\alpha</math> имеет место равенство
: <math>f(\alpha x) = \overline{\alpha} f(x)~\forall x \in L</math>,
где <math>\overline{\alpha}</math> — комлпекснокомплексно-сопряжённое с <math>\alpha</math> число.
 
Функционал, который является одновременно аддитивным и однородным, называют '''линейным функционалом'''.
Одновременно Аддитивныйаддитивный и сопряжённо-однородный функционал называют ''сопряженно-линейным'' или ''полулинейным''.
 
== Примеры ==
Строка 19 ⟶ 24 :
Пусть <math>f</math> — линейный функционал, заданный на линейном пространстве <math>L</math> и не равный тождественно нулю.
 
Множество точек линейного пространства, обращающих линейный функционал в нуль, является [[Теория функций действительного переменного/Линейные пространства#Подпространства|подпространством]] линейного пространства <math>L</math>, которое называют '''подпространством нулей''' или '''ядром''' функционала <math>f</math>. Действительно:
Ядро функционала <math>f</math> обозначается через <math>Ker(f)</math>, от английского слова ''Kernel'kernel''' — ядро.
: <math>f(x) = 0, f(y) = 0 \Rightarrow f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) = 0</math>.
 
Ядро функционала <math>f</math> обозначается через <math>Ker(f)</math>, от английского слова ''Kernel'' — ядро.
Докажем, что ядро функционала действительно является подпространством. Пусть даны два вектора <math>x</math> и <math>y</math> такие, что:
Подпространство <math>Ker(f)</math> имеет коразмерность 1. Чтобы доказать этот факт, возьмём какую-либо точку <math>x_0</math> не входящую в ядро, то есть такую, что <math>f(x_0) \neq 0</math>. Такой элемент всегда можно выбрать, так как в противном случае функционал <math>f</math> будет тождественно равен нулю, а это противоречит исходному предположению. Более того, можно считать, что <math>f(x_0) = 1</math>, так как если это равенство не выполняется, то вместо <math>x_0</math> можно было бы взять точку
: <math>\frac{x_0}{f(x_0)}~:~f \left (\frac{x_0}{f(x_0)} \right x) = \frac{f(x_0)}{f(x_0)} = 1 0</math>.,
: <math>~f(y) = 0</math>.
Для каждой точки <math>x</math> введём точку <math>y = x - f(x) x_0</math>, для которой выполняется равенство
Пусть <math>a</math>, <math>b</math> — произвольные вещественные числа, тогда
: <math>~f(x) = 0, f(y) = 0 \Rightarrow f(\alphaa x + \betab y) = \alphaa f(x) + \betab f(y) = 0</math>.
Таким образом, линейная комбинация элементов ядра функционала также является элементом его ядра.
 
Ядро функционала <math>f</math> имеет коразмерность 1.
Чтобы доказать этот факт, возьмём какую-либо точку <math>x_0</math> не входящую в ядро, то есть такую, что <math>f(x_0) \neq 0</math>.
Такой элемент всегда можно выбрать, так как в противном случае функционал <math>f</math> будет тождественно равен нулю, а это противоречит нашему исходному предположению.
Более того, можно считать, что
: <math>~f(x_0) = 1</math>,
так как если это равенство не выполняется, то вместо <math>x_0</math> можно было бы взять точку
: <math>\frac{x_0}{f(x_0)}</math>,
в этой точке значение функционала будет равно единице, так как, по определению линейного функционала:
: <math>f \left (\frac{x_0}{f(x_0)} \right ) = \frac{f(x_0)}{f(x_0)} = 1 </math>.
Для каждой точки <math>x</math> определим
: <math>~y = x - f(x) x_0</math>.
В точке <math>y</math> выполняется следующее равенство
: <math>f(y) = f \left ( x - f(x) x_0 \right ) = f(x) - f(x_0) f(x) = 0</math>,
а значит, по определению ядра линейного функционала:
то есть
: <math>y \in Ker(f)</math>.
Представление элемента <math>x</math> в виде
: <math>x = \alpha x_0 + y,~y \in Ker(f)</math>
является единственноединственным (при заданной точке <math>x_0</math>).
Доказательство единственности проведём от противного. Пусть существуют два таких представления:
: <math>x = \alpha_1 x_0 + y_1,~y_1 \in Ker(f)</math> и,
: <math>x = \alpha_2 x_0 + y_2,~y_2 \in Ker(f)</math>.
Вычтем из первого равенства второе:
Тогда <math>(\alpha_1 - \alpha_2) x_0 = y_2 - y_1</math>.
Если: <math>~(\alpha_1 =- \alpha_2</math>,) тоx_0 = и <math>y_2 =- y_1</math>. Если же <math>\alpha_1 \neq \alpha_2</math>, то
Если имеет место равенство
Тогда: <math>(~\alpha_1 -= \alpha_2) x_0 = y_2 - y_1</math>.,
то левая часть равенства есть нуль, а следовательно и правая часть равна нулю, то есть
: <math>~y_2 = y_1</math>.
Если же
: <math>~\alpha_1 \neq \alpha_2</math>,
то можно получить следующее выражение для вектора <math>x_0</math>:
: <math>x_0 = \frac{y_2 - y_1}{\alpha_1 - \alpha_2}</math>.
Вычислим значение функционлафункционала в этой точке
: <math>f(x_0) = f \left ( \frac{y_2 - y_1}{\alpha_1 - \alpha_2} \right ) = \frac{f (y_2 - y_1)}{\alpha_1 - \alpha_2} = \frac{f(y_2) - f(y_1)}{\alpha_1 - \alpha_2} = 0</math>,
но это противоречит предположению
: <math>~f(x_0) = 1</math>,
а значит представлениюпредставление
: <math>x = \alpha x_0 + y,~y \in Ker(f)</math>
действительно единственноявляется единственным.
 
Докажем следующее утверждение: две точки принадлежат одному классу смежности по подпространству <math>Ker(f)</math> тогда и только тогда, когда значения в этих точках равны.
Точки <math>x_1</math> и <math>x_2</math> принадлежат одному классу смежности по <math>Ker(f)</math>, если
: <math>x_1 - x_2 \in Ker(f)</math>,
то есть, еслипо определению ядра функционала, если
<math>f(x_1 - x_2) = 0</math>,.
В таксилу как функционал является линейным, толинейности функционала:
<math>f(x_1 - x_2) = f(x_1) - f(x_2)</math>,
откуда и следует исходное утверждение.
 
Любой класс смежности по подпространству <math>Ker(f)</math> определеятся любым своим представителем.
В качестве представителя можно взять элемент вида <math>\alpha fx_0</math>, откуда и следует, что фактор-пространство <math>L/Ker(f)</math> имеет размерность 1, то есть ядро <math>Ker(f)</math> имеет коразмерность 1 (по определению коразмерности).
 
Можно доказать, что ядро линейного функционала определяет его с точконостьюточностью до постоянного множителя.
Рассмотрим два функционала <math>f</math> и <math>g</math> с равнымисовпадающими ядрами:
: <math>~Ker(f) = Ker(g)</math>.
Если ядро этих функционалов совпадает со всем пространством, то очевидно, что оба функционала тождественно равны нулю в этом пространстве., и утверждение доказано.
Будем считать, что функционалфункционалы <math>f</math> и <math>g</math> не равенравны тождественно нулю.
Выберем элемент
: <math>x_0:~f(x_0) = 1</math>
(выше было показано, что такой выбор всегда возможен, если функционал не равен тождественно нулю), тогда существует единственное представление
: <math>x = f(x) x_0 + y, y \in Ker(f) = Ker(g)</math>.
Вычислим значение функционала <math>g</math>, используя это предстваление:
: <math>g(x) = g \left ( f(x) x_0 + y \right ) = f(x) g(x_0) + g(y) = g(x_0) f(x) + 0 = g(x_0) f(x) </math>.
 
Так как <math>f(x_0) \neq 1</math>, то <math>x_0 \notin Ker(g) = Ker(f)</math>, а следовательно <math>g(x_0) \neq 0</math>. Мы доказали, что если два функционала имеют одинаковые ядра, то они пропорциональны друг другу.
Если <math>g(x_0) = 0</math>, то функционал <math>g</math> был бы тождественно равен нулю, что противоречит нашему предположению.
Из равенства
: <math>~g(x) = g(x_0) f(x)</math>
вытекает, что эти два функционала пропорциональны друг другу. Утверждение доказано.
 
Для всякого подпространства <math>L' \subset L</math>, имеющего коразмерность 1, можно построить такой функционал <math>f</math>, что : <math>Ker(f) = L'</math>.
Построение осуществляется следующим образом. Выберем приозвольнуюпроизвольную точку
: <math>x_0 \notin L'</math>
и представить каждую точку <math>x \in L</math> исходного пространства в виде
: <math>~x = \alpha_x x_0 + y,~y \in L'</math>.
Индекс(индекс у коэффициента разложения подчёркивает тот факт, что он различен для разных точек линейного пространства).
Положив
Положив <math>f(x) = \alpha_x</math>, получим линейный функционал, ядро которого совпадает с данным подпространством <math>L' \subset L</math>.
: <math>~f(x) = \alpha_x</math>,
Положив <math>f(x) = \alpha_x</math>, получим линейный функционал, ядро которого совпадает с данным подпространством <math>L' \subset L</math>.
 
Пусть <math>L' \subset L</math> — подпространство коразмерности 1.
Всякий класс смежности пространства <math>L</math> по его подпространству <math>L'</math> называется '''гиперплоскостью''', параллельной подпространству <math>L' \subset L</math>.
Само подпространство является гиперплоскостью, содержащей нулевой элемент.
Другими словами, гиперплоскость <math>H</math> — это множество, получаемое сдвигом всех элементов некоторого подпространства коразмерности 1 на некоторый вектор <math>x_0 \in L</math>:
: <math>H = \left \{ x + x_0 \mid x \in L' \right \} </math>.
 
Если <math>f</math> — линейный функционал, не равный тождественно нулю, определённый на пространстве <math>L</math>, то множество
: <math>H_f = \left \{ x:~f(x) = 1 \right \}</math> является
называется гиперплоскостью, параллельной подпространству <math>Ker(f)</math>.
 
Если <math>H</math> - — гиперплоскость, параллельная подпространству <math>L' \subset L</math>, коразмерность которого равна 1, то можно построить единственный линейный функционал <math>f</math> такой, что
: <math>H = \left \{ x:~f(x) = 1 \right \}</math>.
 
Это означает, что между линейными функционалами, не равными тождественно нулю, и гиперплоскостями, не проходящими через начало координат, можно установить взаимно-однозначтное соответствие. В этом и заключается геометрический смысл линейного функционала.
 
[[Категория:Теория функций действительного переменного|Линейные функционалы]]