Философия науки: различия между версиями

Содержимое удалено Содержимое добавлено
Строка 133:
Кант считал априорным, присущим сознанию, независимым от опыта соотношения геометрии Эвклида. В III в. до н. э. Эвклид вывел всю совокупность теорем геометрии из независимых одна от другой аксиом. Среди последних находился и так называемый постулат параллельных, эквивалентный утверждению: «через точку не лежащую на данной прямой можно провести одну и только одну прямую параллельную данной». Из этого постулата выводится равенство углов треугольника двум прямым углам, параллельность перпендикуляра к одной и той же прямой и ряд других теорем. Из него в частности выводится формула, позволяющая найти длину отрезка, если заданы координаты его концов.
 
Если все остальные аксиомы выглядели простыми и изящными, «очевидными», то аксиома параллельности таковой не выглядела. Это смущало многих математиков. На протяжении столетий многие известные математики пытались её доказать как теорему, опираясь на остальные аксиомы. Было дано много ложных доказательств, в которых незаметно опирались на факт из геометрии Эвклида, для доказательства которого, в свою очередь, привлекалась аксиома параллельных. Особенно «популярна» в этом плане былобыла теорема о том, что сумма углов треугольника равняется двум прямым углам. Только в XVIII—XIX вв. математики начали пытаться доказывать, что сделать это невозможно. Лобачевский доказал независимость системы аксиом от аксиомы параллельности, т. е. если добавить аксиому параллельности к остальным аксиомам, или добавить отрицание аксиомы параллельности к остальным аксиомам, получится непротиворечивая геометрия.
 
В 1826 году Н. И. Лобачевский доказал, что может существовать иная, неэвклидовая геометрия, отказывающаяся от постулата параллельных. В геометрии Лобачевского «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести бесчисленное множество прямых, не пересекающихся с данной». Сумма углов треугольника в геометрии Лобачевского меньше двух прямых углов, перпендикуляры к прямой расходятся. Длина отрезка определяется в ней по координатам иначе, чем в геометрии Эвклида.