Размер и размерность: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
D'ohBot (обсуждение | вклад) м робот косметические изменения |
|||
Строка 3:
{{Эпиграф|Под микроскопом он открыл, что на блохе<br/>
Живёт блоху кусающая блошка;<br/>
На блошке той блошинка-крошка,<br />
В блошинку же вонзает зуб сердито<br />
Блошиночка, и так ad infinitum.
|[[w:Свифт, Джонатан|Джонатан Свифт]]}}
Строка 24:
Не обязательно изменять единицу длины именно в сто раз.
[[
При изменении единицы длины в 3 раза единица площади изменится в <math>3^2 = 3 \cdot 3 = 9</math> раз, а единица объёма в <math>3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27</math> раз. Таким образом, мы можем «разобрать» большой отрезок на <math>3^1</math> отрезков в 3 раза меньшей длины, большой квадрат на <math>3^2</math> квадратов в 3 раза меньших по линейным размерам, большой куб на <math>3^3</math> кубиков в 3 раза меньших по линейным размерам. Во всех перечисленных случаях мы «разбираем» фигуру на набор равных между собой по размеру меньших фигурок, подобных большой фигуре. Степень, в которую возводится изменение линейного масштаба, называется размерностью. Таким образом, отрезок – одномерен, квадрат – двумерен, куб – трёхмерен.
Строка 34:
Например, следующую фигуру мы можем «разобрать» на 8 подобных, каждая из которых меньше по линейным размерам в 3 раза. Эта фигура называется «салфетка Серпинского».
[[
Таким образом, <math>8=3^d</math>, или (вспомнив определение логарифма) <math>d = \log_3 8 = \frac{\ln 8}{\ln 3} \approx 1{,}89\dots</math>
Строка 40:
Как строится такая салфетка Серпинского? Квадрат разбивается на 9 маленьких квадратиков, после чего выкидывается средний квадратик, потом аналогичная процедура проделывается для каждого из 8 оставшихся квадратиков (в 3 раза меньших размеров), потом для каждого из 64 квадратиков (в 9 раз меньших размеров) и так далее (бесконечное число раз).
[[
На каждом шаге площадь фигуры уменьшается на <math>\frac{1}{9}</math>, то есть, если мы начали с единичного квадрата, площадь фигуры на шаге номер <math>N</math> равна <math>S = \left( \frac{8}{9} \right)^N</math>. А площадь получающегося в результате фрактала равна <math>S = \frac{8}{9} \cdot \frac{8}{9} \cdots \frac{8}{9} \cdots = 0</math>. Может быть, там вовсе нет никакой фигуры, раз площадь оказалась нулевой? Нет, мы можем доказать, что выкинуты оказались не все точки квадрата (докажите это в качестве упражнения, при этом удобно использовать троичную систему счисления, для записи координат точек квадрата). Для такой фигуры нетривиальное (конечное) значение будет иметь не длина периметра (бесконечная), и не площадь (нулевая), а некая мера («мера Минковского»), измеряющееся в единицах 1 см<sup>d</sup> Если принять, что мера Минковского для квадрата <math>a \cdot a</math> равна <math>a^d</math>, то мера салфетки Серпинского оказывается равна 1 (на шаге номер <math>N</math> мы имеем <math>8^N</math> квадратиков со стороной <math>\left( \frac{1}{3} \right)^N</math> и мера <math>S_{\mathrm{Mink.}\ N} = 8^N \left( \left( \frac{1}{3} \right)^N \right)^d = 1</math>).
Строка 46:
По некоторому размышлению полезно обобщить приведённое выше определение самоподобного фрактала и позволить ему иметь целые размерности, например процедура, изображённая на следующей серии рисунков, приводит к построению фигуры с размерностью 1 (Почему?), но естественно считать эту фигуру фракталом (данный пример принадлежит Магди Мохамеду). (Попутно во фракталы попадают и обычные отрезки, квадраты, треугольники.)
[[
В заключение приведём (в качестве иллюстрации и упражнения по вычислению размерности самоподобных фракталов) ещё три фигуры.
Строка 52:
Треугольник Серпинского.
[[
Ещё один вариант салфетки Серпинского.
[[
[[Кривая Коха]].
[[
Строится кривая Коха так:
[[
[[Категория:
[[Категория: |