Почему летает самолёт, или о потоках массы и импульса: различия между версиями

На муху очень похож вертолёт, неподвижно висящий в воздухе. Что позволяет ему не падать? Винт «засасывает» воздух, который вдали («на бесконечности») покоится <math>\left(v_\infty = 0\right)</math>, и отбрасывает его вниз со скоростью <math>v</math>. Конечно, этот воздух рано или поздно возвращается на свое место, так что вертолёт создает тороидальный вихрь, перемешивая всю атмосферу, как показано (качественно) на рис.1.

 

 

Если обозначить плотность воздуха через <math>\rho </math> кг/м³ (а при дозвуковых скоростях потока плотность можно считать постоянной), то масса воздуха, перетекающего в единицу времени через сечение <math>S</math> со скоростью <math>v</math>, равна <math>\mu = \rho vS</math> [кг/м³<math>\cdot</math>м/с<math>\cdot</math>м² = кг/с].

Пусть S — площадь поперечного сечения потока, v — его скорость. Тогда за промежуток времени <math>\Delta t</math> через поперечное сечение s пройдет объём <math>\Delta V = s \cdot v \cdot \Delta t</math> (Рис.2). Тогда <math>Q = \frac{{\Delta V}}{{\Delta t}}= s \cdot v</math> и <math>\mu = \rho \cdot Q = \rho \cdot s \cdot v.</math> Эту величину естественно назвать ''потоком массы.'' А если разделить ее на площадь сечения потока, получим ''плотность потока массы'' <math>\frac{\mu }{S} = \rho v</math> [кг/(м²<math>\cdot</math>с)]

 

 

Но чему равен импульс этого потока массы? Каждый школьник знает, что импульс тела массой <math>m</math>, движущегося со скоростью <math>v</math>, равен <math>p = mv</math>. Разделив обе части этого равенства на массу, получим удельный импульс (то есть импульс единицы массы) <math>\frac{p}{m} = v</math>. Значит, каждый килограмм массы несёт импульс, равный скорости движения этого килограмма. А если поток массы равен <math>\mu </math> [кг/с], то, умножив его на <math>v</math>, мы и получим поток импульса <math>\mu v</math>,[кг/с<math>\cdot</math>м/с = H], то есть силу. И эта сила должна равняться весу вертолёта, если мы хотим, чтобы он висел в воздухе:

Теперь наклоним плоскость винта вертолёта «вперёд» (рис.3)

 

 

Разложим силу его тяги на вертикальную компоненту Y и горизонтальную X. Вертолёт полетит в направлении силы X, компонента Y, конечно, должна остаться равной весу, а X уравновесится силой сопротивления воздуха. У самолёта роли в создании этих двух сил разделены: крыло создает вертикальную (подъёмную) силу, а мотор — силу тяги. Причем крыло обладает замечательным свойством: оно способно создавать подъёмную силу намного большую, чем сила сопротивления воздуха его движению. Физик сказал бы — на порядок большую. Это, конечно, не означает «ровно в 10 раз большую», — это может быть и 8, и 20. Отношение этих двух сил называется качеством крыла <math>\frac{Y}{X}= K</math>. Следовательно, в отличие от вертолёта, крылатый летательный аппарат нуждается в силе тяги, на порядок меньшей веса аппарата (а ведь вертолёт даже для неподвижного висения должен обладать подъёмной силой, не меньшей веса, — а тем более для горизонтального перемещения).

Оценим, с какой скоростью двигатель самолёта должен отбрасывать массу газа назад. Если вес самолёта равен G, качества крыла К, а мы собираемся использовать N двигателей, то каждый из них должен создать силу тяги G/KN. Далее, если на выходе из двигателя площадью сечения S плотность газов равна <math>\rho_s </math> скорость истечения v, то поток массы в системе координат, связанной с самолётом, <math>\,\!\mu {\rm{ = }}\rho _{\rm{s}} {\rm{vS}}{\rm{, }}</math> [кг/с]. Будем считать приближенно, что он равен потоку массы на входе в двигатель. Это значит, что мы пренебрегаем добавочной массой сгоревшего топлива — роль последнего, таким образом, сводится к нагреванию воздуха, а не к увеличению расхода массы — и чем меньше расход топлива, тем экономичнее авиадвигатель. Тогда, в результате нагревания воздуха, проходящего через двигатель, его скорость (а это ведь, как мы помним, удельный импульс) увеличивается на v-u, где u — скорость полёта (рис.4).

 

 

Таким образом, изменение импульса (а это и есть тяга одного двигателя) равно <math>F_1 = \mu (v - u) = \rho _s uS(v - u) = G/KN.</math> Предположим, что давление газов на выходе из двигателя в точности равно давлению окружающем воздухе (индекс <math>\infty </math>), а их температура равна T_s. Тогда плотность найдем из закона Менделеева-Клапейрона: <math>\rho _s = p_\infty /RT_s,</math> где <math>R = R_0 /M</math> — газовая постоянная, <math>R_0 = 8,31 </math> Дж/К<math>\cdot</math>моль, <math>M =29 \cdot 10^{-3}</math> кг/моль — молярная масса воздуха. Кстати, обращаем внимание, что плотность выхлопных газов <math>\rho_s </math> вообще не должна равняться плотности атмосферы, что и подчеркивает индекс s.

3. Оценить площадь крыльев рассматриваемого самолёта.