Высшая математика. Первый семестр/Функции и их графики: различия между версиями

Содержимое удалено Содержимое добавлено
+1
м робот косметические изменения
Строка 4:
Пусть <math>A</math> и <math>B</math> — два произвольных множества. Функцией <math>f</math> из <math>A</math> в <math>B</math> называется соответствие между элементами множества <math>A</math> и множества <math>B</math>, при котором каждому элементу <math>x\in A</math> сопоставляется какой-либо один элемент <math>{y\in B}</math>. При этом <math>y</math> называется значением функции <math>f</math> на элементе <math>x</math>, что записывается как <math>{y=f(x)}</math> или <math>f:x\mapsto y</math>. Тот факт, что функция <math>f</math> переводит элементы <math>x\in A</math> в элементы <math>y\in B</math>, записывается так: <math>f:A\to B</math>. Множество <math>A</math> называется областью определения функции <math>f</math> и обозначается <math>\mathcal{D}(f)</math>.
 
[[ИзображениеФайл:math1.png|thumb|Множество <math>A</math> отображается функцией <math>f</math> в множество <math>B</math> ]]
 
'''Пример:''' Пусть в группе 20 студентов. Рассмотрим множество номеров <math>{A=\{1;2;\dots;20\}}</math> и множество <math>B</math> — множество фамилий, записанных русским алфавитом. Тогда соответствие <math>f</math>, сопоставляющее каждому из номеров студентов в списке группы фамилию этого студента, — это функция <math>f:n\mapsto F</math>, где <math>n</math> — номер студента в группе (от 1 до 20) и <math>F</math> — фамилия этого студента. Поскольку фамилию имеет каждый студент, значение <math>f(n)</math> определено для всех <math>n\in A</math>. Очевидно, однако, что далеко не все элементы множества <math>B</math> — множества всевозможных фамилий — присутствуют в списке группы. Например, если в группе нет студента по фамилии Иванов, то элемент Иванов <math>\in B</math> не будет значением <math>f(n)</math> ни при каком <math>n\in A</math>. Если же в группе есть однофамильцы по фамилии Петров, то при разных номерах <math>n_1\in A</math> и <math>n_2\in A</math> элемент Петров <math>\in B</math> будет значением функции <math>f</math>, то есть <math>f(n_1)=Petrov</math> и <math>f(n_2)=Petrov</math>.
Строка 21:
'''Пример 1:''' Пусть <math>A=\mathbb{R}, B=[-1;1]</math> и отображение <math>f</math> для <math>x\in A</math> задано формулой <math>f(x)=\sin x</math>. Тогда <math>f</math> — сюръекция, так как любое число <math>y</math> из отрезка <math>[-1;1]</math> равно значению <math>\sin x</math> при некотором <math>x</math>.
 
[[ИзображениеФайл:sinx.png|thumb|Все числа <math>y\in[-1;1]</math> — это значения функции <math>\sin x</math> ]]
 
'''Пример 2:''' Пусть <math>A=\mathbb{R}, B=\mathbb{R}</math> и отображение <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> задано при <math>x\in\mathbb{R}</math> формулой <math>f(x)=x^3</math>. Тогда отображение <math>f</math> одновременно является и сюръекцией, и инъекцией, так как
Строка 27:
2) никакие два разных значения <math>x_1,x_2\in\mathbb{R}</math> не могут дать одинаковых значений <math>x_1^3=x_2^3</math>, так как из неравенства <math>x_1<x_2</math> следует неравенство <math>x_1^3<x_2^3</math>.
 
[[ИзображениеФайл:cubediff.png|thumb|Кубы разных чисел не совпадают]]
 
=== Взаимно-однозначное соответствие ===
Строка 34:
'''Замечание:''' Если отображение <math>f:A\to B</math> — вложение, то мы можем рассмотреть соответствие, которое устанавливает эта функция между элементами множества <math>A</math> и множеством значений функции <math>\mathcal{E}(f)</math>, то есть частью множества <math>B</math>. Пусть <math>\mathcal{E}(f)=B'</math>. Тогда функция <math>f</math> устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множествами <math>A</math> и <math>B'</math>. (Более формально: функция <math>f_1:A\to B'</math>, совпадающая с <math>f</math> при всех <math>x\in A</math>, — это биекция. В таких ситуациях, когда функции <math>f</math> и <math>f_1</math> имеют одну и ту же область определения <math>A</math> и их значения совпадают при всех <math>x\in A</math>, мы в дальнейшем будем их обозначать одинаково, в данном случае — буквой <math>f</math>.)
 
[[ИзображениеФайл:math2.png|thumb|Множество <math>\mathcal{D}(f)</math> взаимно-однозначно отображается на множество <math>\mathcal{E}(f)</math> ]]
 
'''Пример 1:''' При сдаче пальто в гардероб каждому сданному пальто <math>p</math> соответствует ровно один выданный номерок <math>n</math>. Таким образом, между множеством <math>P</math> сданных пальто и множеством выданных номерков <math>N'</math> (<math>N'</math> — это подмножество множества <math>N</math> всех номерков в гардеробе) устанавливается биекция <math>f: p\mapsto n</math> (<math>p\in P</math>, <math>n\in N'</math>).
Строка 45:
Очевидно, что в случае, если <math>f:A\to B</math> — биекция и <math>f^{-1}</math> — обратная к <math>f</math> функция, то <math>f^{-1}(f(x))=x</math> для всех <math>x\in A</math> и <math>f(f^{-1}(y))=y</math> для всех <math>y\in B</math>. Последнее равенство показывает, что <math>(f^{-1})^{-1}=f</math> и что функции <math>f</math> и <math>f^{-1}</math> взаимно обратны. (То есть если <math>g</math> — функция, обратная к <math>f</math>, то <math>f</math> — функция, обратная к <math>g</math>.)
 
[[ИзображениеФайл:f-1.png|thumb|Функции <math>f</math> и <math>f^{-1}</math> взаимно обратны]]
 
 
Строка 52:
'''Пример 2:''' Функция <math>f:[0;+\infty)\to[0;+\infty)</math>, заданная формулой <math>y=f(x)=x^2</math>, — это биекция. Обратная к ней функция — это квадратный корень: <math>x=f^{-1}(y)=\sqrt{y}</math>.
 
[[ИзображениеФайл:sqrtx.png|thumb|Функции <math>y=x^2</math> и <math>x=\sqrt{y}</math> — взаимно обратны]]
 
В математическом анализе основную роль играют такие функции <math>f</math>, у которых значениями служат вещественные числа, то есть <math>\mathcal{E}(f)\subset\mathbb{R}</math>. Такие функции <math>f</math> называются числовыми. Функции примеров 1.2, 1.3, 1.6 — числовые. Функции примеров 1.1, 1.4 числовыми не являются.
Строка 79:
Множество <math>G_f</math> представляет собой кусок конической поверхности с вершиной в точке <math>(0;0;0)</math>, с высотой 1 и радиусом основания 1.
 
[[ИзображениеФайл:konus.png|thumb|График расстояния до точки <math>O</math> — это конус]]
 
Как мы видим, в случае, когда <math>A</math> — подмножество плоскости <math>\mathbb{R}^2</math>, график числовой функции <math>f:A\to\mathbb{R}</math> — это подмножество точек пространства <math>\mathbb{R}^3</math>. Если же <math>A</math> — подмножество точек пространства <math>\mathbb{R}^3</math>, то графиком числовой функции <math>f:A\to\mathbb{R}</math> будет подмножество <math>{\Gamma}_f</math> четырёхмерного пространства, точнее, его подмножества <math>A\times\mathbb{R}\subset\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^4</math>. В связи с этим, изобразить график такой функции на чертеже не представляется возможным, хотя, конечно, можно постараться как-то этот график <math>{\Gamma}_f</math> описать каким-то иным способом.